Question

某鄉(xiāng)有A、B、C、D四個(gè)村莊，恰好座落在邊長(zhǎng)為2km的正方形頂點(diǎn)上，為發(fā)展經(jīng)濟(jì)，當(dāng)?shù)卣�府決定建立一個(gè)使得任何兩個(gè)村莊都有通道的路網(wǎng)，道路網(wǎng)由一條中心道及四條支線組成，要求四條支道的長(zhǎng)度相等．（如圖所示）
（1）若道路的總長(zhǎng)度不超過5.5km，試求中心道長(zhǎng)的取值范圍．
（2）問中心道長(zhǎng)為何值時(shí)，道路網(wǎng)的總長(zhǎng)度最短？

Answer 1

考點(diǎn)：不等式的實(shí)際應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）以中心道長(zhǎng)度為變量，建立道路網(wǎng)的總長(zhǎng)度的解析式，由題意得2x+4

1+(1-x)2

≤5.5，解不等式，即可求中心道長(zhǎng)的取值范圍．
（2）利用判別式法，可求道路網(wǎng)的總長(zhǎng)度最短．

解答：解：設(shè)中心道長(zhǎng)度為2x km（0＜x＜1）．
（1）由題意得2x+4

1+(1-x)2

≤5.5，化簡(jiǎn)，得48x²-40x+7≤0．
解得

1

4

≤x≤

7

12

．
所以中心道長(zhǎng)的取值范圍是[

1

2

，

7

6

]．
（2）因?yàn)閥=2x+4

1+(x-1)2

，
所以（y-2x）²=16（2-2x+x²）．
所以12x²+（4y-32）x+32-y²=0．①
因?yàn)?＜x＜1，所以△=（4y-32）²-4×12（32-y²）≥0．
由于y＞0，所以y≥2+2

3

．
將y_min=2+2

3

代入①得12x²+（8+8

3

-32）x+32-（2+2

3

）²=0
∴x=1-

3

3

答：當(dāng)?shù)缆肪W(wǎng)長(zhǎng)度不超過5.5 km時(shí)，中心道長(zhǎng)的取值范圍為[

1

2

，

7

6

]；中心道長(zhǎng)為（2-

2 3

3

） km時(shí)，道路網(wǎng)總長(zhǎng)度最短．

點(diǎn)評(píng)：在實(shí)際問題中建立函數(shù)關(guān)系時(shí)，首先要選取自變量，自變量選取恰當(dāng)與否對(duì)于解決問題簡(jiǎn)便與否有直接的關(guān)系．