Question

已知空間中三點(diǎn)A（-2，0，2），B（-1，1，2），C（-3，0，4），設(shè)

AB

=

a

，

AC

=

b

．
（1）若|

c

|=3，且

c

∥

BC

，求

c

；
（2）求

a

與

b

的夾角的余弦值；
（3）若k

a

+

b

與k

a

-2

b

互相垂直，求實(shí)數(shù)k的值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：計(jì)算題,空間向量及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)出向量c的坐標(biāo)，由模的公式和向量共線的坐標(biāo)表示，列出方程，解得即可得到；
（2）利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、向量夾角公式即可得出；
（3）運(yùn)用向量垂直的條件：數(shù)量積為0，結(jié)合向量的平方即為模的平方，計(jì)算即可得到k．

解答： 解：（1）設(shè)

c

=（x，y，z），
則|

c

|=3，即有x²+y²+z²=9，
且

c

∥

BC

，則

c

=λ

BC

=λ（-2，-1，2），
即有x=-2λ，y=-λ，z=2λ，
則4λ²+λ²+4λ²=9，解得，λ=±1，
則有

c

=（-2，-1，2），或

c

=（2，1，-2）；
（2）由于

AB

=（1，1，0），

AC

=（-1，0，2），
則

a

•

b

=-1+0+0=-1，|

a

|=

2

，|

b

|=

5

．
∴cos＜

a

，

b

＞=

a • b

| a |•| b |

=

-1

2 × 5

=-

10

10

；
（3）若k

a

+

b

與k

a

-2

b

互相垂直，
則（k

a

+

b

）•（k

a

-2

b

）=0，
即有k²

a

2-2

b

2-k

a

•

b

=0，
即為2k²+k-10=0，
解得，k=2或-

5

2

．

點(diǎn)評：本題考查空間向量的數(shù)量積及性質(zhì)，考查向量共線的條件和向量垂直的條件，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．