已知函數(shù)f(x)=
1-3x
1+3x
+log3
1-x
1+x
．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并證明你的結論；
（3）若f（1+m）+f（m）＜0，求實數(shù)m的取值范圍．
（1）使解析式有意義的條件為
1+3x≠0
1-x
1+x
＞0
?-1＜x＜1，
∴函數(shù)的定義域為x∈（-1，1）（4分）
（2）函數(shù)的定義域關于原點對稱，
且f(-x)+f(x)=
1-3-x
1+3x
+log3
1+x
1-x
+
1-3x
1+3x
+log3
1-x
1+x
，（6分）
=
3x-1
3x+1
+log3
1+x
1-x
+
1-3x
1+3x
+log3
1-x
1+x
=0+log31=0
（7分）
即f（-x）+f（x）=0
∴f（-x）=-f（x）
∴f（x）為奇函數(shù)                                       （8分）
（3）設-1＜x1＜x2＜1，則y2-y1=
1-3x2
1+3x2
+log3
1-x2
1+x2
-
1-3x1
1+3x1
-log3
1-x1
1+x1
（9分）
=
1-3x2
1+3x2
-
1-3x1
1+3x1
+log3
1-x2
1+x2
-log3
1-x1
1+x1
=
(1-3x2)(1+3x1)-(1+3x2)(1-3x1)
(1+3x2)(1+3x1)
+log3
1-x2
1+x2
•
1+x1
1-x1
=
1-3x2+3x1-3x1+x2-1-3x2+3x1+3x1+x2
(1+3x2)(1+3x1)
+log3
1+x1
1+x2
•
1-x2
1-x1

=
2(3x1-3x2)
(1+3x2)(1+3x1)
+log3
1+x1
1+x2
•
1-x2
1-x1
∵-1＜x1＜x2＜1
∴3x1-3x2＜0，
1+x1
1+x2
＜1，
1-x2
1-x1
＜1，
log3
1+x1
1+x2
•
1-x2
1-x1
＜0
∴y2-y1＜0

所以f（x）在（-1，1）上為減函數(shù)，（12分）
又∵f（1+m）+f（m）＜0
∴f（1+m）＜-f（m）f（1+m）＜f（-m）
?
1+m＞-m
-1＜1+m＜1
-1＜-m＜1
?-
1
2
＜m＜0．（14分）
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）、已知函數(shù)f(x)=
1+
2
cos(2x-
π
4
)
sin(x+
π
2
)
．若角α在第一象限且cosα=
3
5
，求f(α)．
（2）函數(shù)f(x)=2cos2x-2
3
sinxcosx的圖象按向量
m
=(
π
6
，-1)平移后，得到一個函數(shù)g（x）的圖象，求g（x）的解析式．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=(1-
a
x
)ex，若同時滿足條件：
①?x0∈（0，+∞），x0為f（x）的一個極大值點；
②?x∈（8，+∞），f（x）＞0．
則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1+lnx
x
．
（1）如果a＞0，函數(shù)在區(qū)間(a，a+
1
2
)上存在極值，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）當x≥1時，不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1+
1
x
，(x＞1)
x2+1，(-1≤x≤1)
2x+3，(x＜-1)
．
（1）求f(
1
2
-1
)與f（f（1））的值；
（2）若f(a)=
3
2
，求a的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

定義在D上的函數(shù)f（x）如果滿足：對任意x∈D，存在常數(shù)M＞0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f（x）的上界．已知函數(shù)f(x)=
1-m•2x1+m•2x
．
（1）m=1時，求函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的值域，并判斷f（x）在（-∞，0）上是否為有界函數(shù)，請說明理由；
（2）若函數(shù)f（x）在[0，1]上是以3為上界的有界函數(shù)，求m的取值范圍．

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