Question

已知a=（

1

3

x²，x），b=（x，x-3），x∈[-4，4]．
（1）求f（x）=a•b的表達(dá)式；
（2）求f（x）的最小值，并求此時a與b的夾角．

Answer 1

分析：（1）利用向量的數(shù)量積法則求出f（x），
（2）令導(dǎo)數(shù)為0求出根，列表判斷根左右兩邊的導(dǎo)函數(shù)符號，求出極值，比較極值和端點值，求出函數(shù)的最值．用向量的數(shù)量積的法則求出向量夾角．

解答：解：（1）f（x）=a•b=

1

3

x²•x+x•（x-3）=

1

3

x³+x²-3x，x∈[-4，4]．
（2）f'（x）=x²+2x-3=（x+3）（x-1）．
列表：

故當(dāng)x=1時，f（x）有最小值為-

5

3

．
此時a=（

1

3

，1），b=（1，-2）．
設(shè)θ為a與b的夾角，則cosθ=

a•b

|a||b|

=-

2

2

．
又由θ∈[0，π]，得θ=

3π

4

．
答：f（x）=a•b的表達(dá)式為

1

3

x³+x²-3x，x∈[-4，4]．
f（x）的最小值為-

5

3

，此時a與b的夾角為

3π

4

．

點評：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值在高考題中在選擇題、填空題中及解答題中都有可能出現(xiàn)．