Question

（Ⅰ）證明：當x＞1，2lnx＜x-

1

x

（Ⅱ）若不等式（1+

a

t

）ln（1+t）＞a對任意的正實數t恒成立，求正實數a的取值范圍
（Ⅲ）求證：（

9

10

）¹⁹＜

1

e2

．

Answer 1

考點：利用導數求閉區(qū)間上函數的最值,利用導數研究函數的單調性

專題：計算題,證明題,導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）令函數f（x）=2lnx-x+

1

x

，定義域是（1，+∞）；求導f′（x）=

2

x

-1-

1

x2

=

-(x-1)2

x2

≤0可知函數f（x）在（1，+∞）上單調遞減；從而證明．
（Ⅱ）因為t＞0，a＞0，故不等式（1+

a

t

）ln（1+t）＞a可化為ln（1+t）＞

at

t+a

；問題轉化為ln（1+t）＞

at

t+a

對任意的正實數t恒成立，構造函數g（t）=ln（1+t）-

at

t+a

（t＞0），從而轉化為最值問題．
（Ⅲ）要證（

9

10

）¹⁹＜

1

e2

，即證19ln

9

10

＜-2；即證：19ln（1+

1

9

）＞2，從而證明．

解答： 解：（Ⅰ）證明：令函數f（x）=2lnx-x+

1

x

，定義域是（1，+∞）；
由f′（x）=

2

x

-1-

1

x2

=

-(x-1)2

x2

≤0可知函數f（x）在（1，+∞）上單調遞減；
故當x＞1時，f（x）=2lnx-x+

1

x

＜f（1）=0，
即2lnx＜x-

1

x

．
（Ⅱ）因為t＞0，a＞0，
故不等式（1+

a

t

）ln（1+t）＞a可化為ln（1+t）＞

at

t+a

；
問題轉化為ln（1+t）＞

at

t+a

對任意的正實數t恒成立，
構造函數g（t）=ln（1+t）-

at

t+a

（t＞0），
則g′（t）=

1

t+1

-

a2

(t+a)2

=

t[t-a(a-2)]

(1+t)(t+a)2

，
（1）當0＜a≤2時，∵t＞0，a（a-2）≤0，
∴g′（t）≥0；
即g（t）在（0，+∞）上單調遞增，
所以g（t）＞g（0）=0，
即不等式ln（1+t）＞

at

t+a

對任意的正實數t恒成立．
（2）當a＞2時，a（a-2）＞0；
因此t∈（0，a（a-2））時，g′（t）＜0，函數g（t）單調遞減；
t∈（a（a-2），+∞）時，g′（t）＞0，函數g（t）單調遞增，
所以g_min（t）=g（a（a-2））=2ln（a-1）-

a(a-2)

a-1

；
∵a＞2，∴a-1＞1，令x=a-1＞1，
由（Ⅰ）可知，g_min（t）=g（a（a-2））=2ln（a-1）-

a(a-2)

a-1

=2lnx-x+

1

x

＜0，不合題意．
綜上可得，正實數a的取值范圍是（0，2]．
（Ⅲ）證明：要證（

9

10

）¹⁹＜

1

e2

，
即證19ln

9

10

＜-2；
即證：19ln（1+

1

9

）＞2，
由（Ⅱ）的結論令a=2，
有（1+

2

t

）ln（1+t）＞2對t＞0恒成立，
取t=

1

9

可得不等式19ln（1+

1

9

）＞2成立，
綜上，不等式（

9

10

）¹⁹＜

1

e2

成立．

點評：本題考查了導數的綜合應用及構造函數證明不等式的方法應用，屬于難題．