Question

函數(shù)f（x）的定義域是R，對任意實數(shù)a，b都有f（a）+f（b）=f（a+b）．當(dāng)x＞0時，f（x）＞0且f（2）=3．
（1）判斷的奇偶性、單調(diào)性；
（2）求在區(qū)間[-2，4]上的最大值、最小值；
（3）當(dāng)θ∈[0，

π

2

]時，f（cos2θ-3）+f（4m-2mcosθ）＞0對所有θ都成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先看奇偶性，用賦值法，先令實數(shù)a，b都為零，求得f（0），再令實數(shù)a=x，b=-x探討f（-x），f（x）關(guān)系．再看單調(diào)性，a+b=x₁，b=x₂且x₁＞x₂再有f（a）+f（b）=f（a+b）．構(gòu)造單調(diào)性定義模型，即f（x₁）-f（x₂）=f（x₁-x₂）判斷即可．
（2）由（1）的單調(diào)性結(jié)論求解，若為增函數(shù)，則-2，4分別對應(yīng)最小值，最大值．若為減函數(shù)，則-2，4分別對應(yīng)最大值，最小值．
（3）將“f（cos2θ-3）+f（4m-2mcosθ）＞0”利用主條件轉(zhuǎn)化為：f（cos2θ-3+4m-2mcosθ）＞f（0），再利用單調(diào)性轉(zhuǎn)化為“cos2θ-3+4m-2mcosθ＜0，恒成立”求解．

解答：解：（1）令a=b=0，f（0）=0
令a=x，b=-x
∴f（x）+f（-x）=f（0）
∴f（x）為奇函數(shù)
令a+b=x₁，b=x₂且x₁＞x₂
f（x₁）-f（x₂）=f（x₁-x₂）＞0
∴是增函數(shù)
（2）由（1）知是增函數(shù)
所以，當(dāng)x=-2時取得取小值-3；當(dāng)x=4時取得最大值f（4）=2f（2）=6
（3）由題意：當(dāng)θ∈[0，

π

2

]時，f（cos2θ-3）+f（4m-2mcosθ）＞0對所有θ都成立
可轉(zhuǎn)化為：2（cosθ）²-2mcosθ+4m-4＞0，當(dāng)θ∈[0，

π

2

]時恒成立
令t=cosθ∈[0，1]則轉(zhuǎn)化為：2t²-2mt+4m-4＞0，t∈[0，1]恒成立
令g（t）=2t²-2mt+4m-4

g(0)＞0 g(1)＞0 g( m 2 ) ＞0

解得：m＞4+2

2

點評：本題主要考查抽象函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷及其應(yīng)用，在解決過程中，賦值法是常用的方法，嚴格落實主條件轉(zhuǎn)化問題是關(guān)鍵．