Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦點F（-1，0），離心率為

2

2

．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)P（1，0），過P的直線l交橢圓C于A，B兩點，求

OA

•

OB

的值．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓的離心率和焦點坐標(biāo)即可求出橢圓方程，
（Ⅱ）分兩種情況，當(dāng)直線的斜率不存在時，當(dāng)斜率存在時，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），構(gòu)造方程組，利用韋達定理，得到兩根和與兩根積，再根據(jù)

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂，化簡計算即可

解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦點F（-1，0），
∴c=1，由

1 a = 2 2 a2-b2=1

得a=

2

，b=1，橢圓方程為

x2

2

+y2=1
（Ⅱ）若直線l斜率不存在時，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

1 2 x2+y2=1 x=1

則x₁=x₂=1，y₁=

2

2

，y₂=-

2

2

則

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=1-

1

2

=

1

2

，
若直線l斜率存在時，
設(shè)直線l：y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

1 2 x2+y2=1 y=k(x-1)

，
得到得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0，
∴△=8k²+8＞0
∴x₁+x₂=

4k2

1+2k2

，x₁x₂=

2k2-2

1+2k2

，
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+k（x₁-1）•k（x₂-1）=x₁x₂+k²[x₁x₂-（x₁+x₂）+1]=（1+k²）x₁x₂-k²（x₁+x₂）+k²，
∴

OA

•

OB

=-k²•

4k2

1+2k2

+（1+k²）•

2k2-2

1+2k2

+k²=

k2-2

1+2k2

點評：本題主要考查了利用橢圓的性質(zhì)求解橢圓方程，直線與橢圓的相交關(guān)系的應(yīng)用，方程的根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用是求解本題的關(guān)鍵