Question

【題目】設(shè)f（x）=ln（1+x）﹣x﹣ax2 ．
（1）當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取到極值，求a的值；
（2）當(dāng)a滿足什么條件時(shí)，f（x）在區(qū)間 上有單調(diào)遞增的區(qū)間．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意知f（x）的定義域?yàn)椋ī?，+∞），

且f′（x）= ﹣1﹣2ax= ，

當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取到極值，∴f′（1）=0，解得a=﹣ ；

當(dāng)a=﹣ 時(shí)，f′（x）= 在（0，1）上小于0，f（x）是減函數(shù)，

f′（x）= 在（1，+∞）上大于0，f（x）是增函數(shù)，

∴f（1）是函數(shù)的極小值，∴a的值為﹣ ；

（2）解：要使f（x）在區(qū)間[ ，﹣ ]上有單調(diào)遞增的區(qū)間，

即f′（x）＞0在[﹣ ，﹣ ]上有解，∴2ax+（2a+1）＞0；

（i）當(dāng)a=0是，有1＞0，上述不等式恒成立，∴a=0滿足條件；

（ii）當(dāng)a＞0時(shí)，有x＞﹣ ，此時(shí)只要﹣ ＜﹣ ，解得：a＞﹣ ，∴取a＞0；

（iii）當(dāng)a＜0時(shí)，有x＜﹣ ，此時(shí)只要﹣ ＞﹣ ，解得：a＞﹣1，∴取﹣1＜a＜0；

綜上，a滿足的條件是：a∈（﹣1，+∞）

【解析】（1）當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取到極值，即f′（1）=0，解得a的值；（2）f（x）在區(qū)間[ ，﹣ ]上有單調(diào)遞增的區(qū)間，即f′（x）＞0時(shí)在[﹣ ，﹣ ]上有解，解含參數(shù)的不等式．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減)，還要掌握函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)(求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵．