Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁B₁=A₁C₁，D，E分別是棱BC，CC₁上的點（點D不同于點C），且AD⊥DE，F(xiàn)為B₁C₁的中點．求證：
（1）直線A₁F∥平面ADE      
（2）AD⊥平面BCC₁B₁．

Answer 1

分析：（1）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，由D，E分別是棱BC，CC₁上的點（點D不同于點C），知A₁F∥AD，由此能證明A₁F∥平面ADE．        
（2）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，由A₁B₁=A₁C₁，F(xiàn)為B₁C₁的中點，知A₁F⊥B₁C₁，故AD⊥BC，再由AD⊥DE，能夠證明AD⊥平面BCC₁B₁．

解答：證明：（1）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∵D，E分別是棱BC，CC₁上的點（點D不同于點C），
∴A₁F∥AD，
∵A₁F?平面ADE，AD?平面ADE，
∴A₁F∥平面ADE．        
（2）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∵A₁B₁=A₁C₁，F(xiàn)為B₁C₁的中點，
∴A₁F⊥B₁C₁，
∵B₁C₁∥BC，∴A₁F⊥BC，
∵A₁F∥AD，AD⊥DE，F(xiàn)為B₁C₁的中點，
∴AD⊥BC，
∴AD⊥平面BCC₁B₁．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查直線與平面垂直的證明，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．