如圖所示,F(xiàn)1、F2分別為橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1 (a>b>0)
的左、右兩個(gè)焦點(diǎn),A、B為兩個(gè)頂點(diǎn);已知頂點(diǎn)B(0,
3
)
到F1、F2兩點(diǎn)的距離之和為4.
(1)求橢圓C的方程;
(2)證明:橢圓C上任意一點(diǎn)M(x0,y0)到右焦點(diǎn)F2的距離的最小值為1.
(3)作AB的平行線交橢圓C于P、Q兩點(diǎn),求弦長(zhǎng)|PQ|的最大值,并求|PQ|取最大值時(shí)△F1PQ的面積.
分析:(1)根據(jù)頂點(diǎn)B(0,
3
)
到F1、F2兩點(diǎn)的距離之和為4,可得a=2,b=
3
,從而可求橢圓方程;
(2)計(jì)算出橢圓C上任意一點(diǎn)M(x0,y0)到右焦點(diǎn)F2的距離,根據(jù)x0∈[-2,2],可證結(jié)論;
(3)先求|PQ|max=
14
,再求點(diǎn)F1(-1,0)到直線PQ的距離,即可求得△F1PQ的面積.
解答:(1)解:由已知得a=2,b=
3
,
∴橢圓方程為
x2
4
+
y2
3
=1
…(2分)
(2)證明:∵M(jìn)(x0,y0),F(xiàn)2(1,0)且x0∈[-2,2],
|MF2|=
(x0-1)2+(y0-0)2
=
(
1
2
x0-2)
2
=|
1
2
x0-2|∈[1,3]
…(4分)
∴僅當(dāng)M(x0,y0)為右頂點(diǎn)時(shí)|MF2|min=1…(5分)
(3)解:設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2)∵kAB=
3
2
,
∴可設(shè)直線PQ:y=
3
2
x+m

代入
x2
4
+
y2
3
=1
,得3x2+2
3
mx+2m2-6=0
…(7分)
由韋達(dá)定理知,x1+x2=-
2
3
m
3
,x1x2=
2m2-6
3
,…(9分)
y1=
3
2
x1+m
,y2=
3
2
x2+m

|PQ|=
(x1-x2)2+(y1-y2)2
=
(1+
3
4
)(x1-x2)2
=
(1+
3
4
)[(x1+x2)2-4x1x2]
=
7
4
[(-
2
3
m
3
)
2
-
8m2-24
3
]
=
7(6-m2)
3

僅當(dāng)m=0時(shí)|PQ|max=
14
…(12分)
而點(diǎn)F1(-1,0)到直線PQ:
3
x-2y=0
的距離h=
|-
3
|
3+4
=
21
7
,
SF1PQ=
1
2
|PQ|•h=
6
2
.…(14分)
點(diǎn)評(píng):本題以橢圓的性質(zhì)為載體,考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查直線與橢圓的位置關(guān)系,解題的關(guān)鍵是將直線與橢圓方程聯(lián)立,從而利用韋達(dá)定理解題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖所示,F(xiàn)1,F(xiàn)2分別為橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右兩個(gè)焦點(diǎn),A,B為兩個(gè)頂點(diǎn),已知橢圓C上的點(diǎn)到F1,F(xiàn)2兩點(diǎn)的距離之和為4且b=
3

(1)求橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo);
(2)過(guò)橢圓C的焦點(diǎn)F2作AB的平行線交橢圓于P,Q兩點(diǎn),求△F1PQ的面積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖所示,F(xiàn)1、F2分別為橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1 (a>b>0)
的左、右兩個(gè)焦點(diǎn),A、B為兩個(gè)頂點(diǎn),已知橢圓C上的點(diǎn)(1,
3
2
)
到F1、F2兩點(diǎn)的距離之和為4.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)過(guò)橢圓C的焦點(diǎn)F2作AB的平行線交橢圓于P、Q兩點(diǎn),求△F1PQ的面積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖所示,F(xiàn)1、F2分別為橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左、右兩個(gè)焦點(diǎn),A、B為兩個(gè)頂點(diǎn),已知橢圓C上的點(diǎn)(1,
3
2
)到F1、F2兩點(diǎn)的距離之和為4.
(1)求橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo);
(2)設(shè)點(diǎn)M是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)N(0,
1
2
),求|MN|的最大值.
(3)過(guò)橢圓C的焦點(diǎn)F2作AB的平行線交橢圓于P、Q兩點(diǎn),求△F1PQ的面積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•牡丹江一模)如圖所示,F(xiàn)1和F2分別是雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1
(a>0,b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn),A和B是以O(shè)為圓心,|OF1|為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個(gè)交點(diǎn),且△F2AB是等邊三角形,則離心率為(  )

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案