Question

5．過拋物線y²=4x的焦點F作傾斜角為45°的直線交拋物線于A、B兩點，則線段AB的長為8．

Answer 1

分析 根據(jù)拋物線解析式確定出焦點F坐標，根據(jù)直線AB傾斜角表示出直線AB方程，與拋物線解析式聯(lián)立消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，設(shè)方程的兩根為x₁，x₂，即A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用根與系數(shù)關(guān)系及兩點間的距離公式求出AB長即可．

解答 解：由題意得：拋物線y²=4x的焦點F為（1，0），
∵直線AB傾斜角為45°，
∴直線AB的斜率為1，即方程為y=x-1，
聯(lián)立得：$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=x-1}\end{array}\right.$，
消去y得：（x-1）²=4x，即x²-6x+1=0，
設(shè)方程的兩根為x₁，x₂，即A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則有x₁+x₂=6，x₁x₂=1，
則|AB|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+{（y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{2}$×$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2}$×$\sqrt{36-4}$=$\sqrt{2}$×$\sqrt{32}$=$\sqrt{64}$=8，
故答案為：8

點評 此題考查了拋物線的簡單性質(zhì)，根與系數(shù)關(guān)系，兩點間的距離公式，以及直線的點斜式方程，熟練掌握拋物線的簡單性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．