分析 (1)在等差數(shù)列{an}中,由已知求得公差,代入等差數(shù)列的通項公式得答案;
(2)由bn+√2=an,得n=an−√2=2n,結(jié)合數(shù)列{nk}是等比數(shù)列即可求得nk=3k−1;
(3)假設(shè)存在三項ar,as,at成等比數(shù)列,則as2=arat,即有(2s+√2)2=(2r+√2)(2t+√2),整理后分rt-s2≠0和rt-s2=0推得矛盾,可知不存在滿足題意的三項ar,as,at.
解答 解:(1)在等差數(shù)列{an}中,
∵a1=2+√2,S3=12+3√2,∴3a1+3d=12+3√2,得d=2,
∴an=a1+(n−1)d=2n+√2,Sn=n(a1+an)2=n2+(√2+1)n;
(2)∵bn+√2=an,∴n=an−√2=2n,
∴nk=2nk,又數(shù)列{nk}的首項為n1=1=2,公比q=31=3,
∴nk=2•3k−1,則2nk=23k−1,故nk=3k−1;
(3)假設(shè)存在三項ar,as,at成等比數(shù)列,則as2=arat,
即有(2s+√2)2=(2r+√2)(2t+√2),
整理得:(rt−s2)√2=2s−r−t,若rt-s2≠0,則√2=2s−r−trt−s2,
∵r,s,t∈N*,∴2s−r−trt−s2是有理數(shù),與√2為無理數(shù)矛盾;
若rt-s2=0,則2s-r-t=0,從而可得r=s=t,這樣r<s<t矛盾.
綜上可知,不存在滿足題意的三項ar,as,at.
點評 本題考查數(shù)列遞推式,考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式,訓練了存在性問題的求解方法,是中檔題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
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