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14.記公差d≠0的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知a1=2+2,S3=12+32
(1)求數(shù)列{an}的通項公式an及前n項和Sn
(2)已知等比數(shù)列{bnk},bn+2=an,n1=1,n2=3,求nk
(3)問數(shù)列{an}中是否存在互不相同的三項構(gòu)成等比數(shù)列,說明理由.

分析 (1)在等差數(shù)列{an}中,由已知求得公差,代入等差數(shù)列的通項公式得答案;
(2)由bn+2=an,得n=an2=2n,結(jié)合數(shù)列{nk}是等比數(shù)列即可求得nk=3k1;
(3)假設(shè)存在三項ar,as,at成等比數(shù)列,則as2=arat,即有2s+22=2r+22t+2,整理后分rt-s2≠0和rt-s2=0推得矛盾,可知不存在滿足題意的三項ar,as,at

解答 解:(1)在等差數(shù)列{an}中,
∵a1=2+2,S3=12+32,∴3a1+3d=12+32,得d=2,
an=a1+n1d=2n+2,Sn=na1+an2=n2+2+1n;
(2)∵bn+2=an,∴n=an2=2n,
nk=2nk,又數(shù)列{nk}的首項為n1=1=2,公比q=31=3,
nk=23k1,則2nk=23k1,故nk=3k1
(3)假設(shè)存在三項ar,as,at成等比數(shù)列,則as2=arat,
即有2s+22=2r+22t+2,
整理得:rts22=2srt,若rt-s2≠0,則2=2srtrts2,
∵r,s,t∈N*,∴2srtrts2是有理數(shù),與2為無理數(shù)矛盾;
若rt-s2=0,則2s-r-t=0,從而可得r=s=t,這樣r<s<t矛盾.
綜上可知,不存在滿足題意的三項ar,as,at

點評 本題考查數(shù)列遞推式,考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式,訓練了存在性問題的求解方法,是中檔題.

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