已知函數(shù)f(x)=ax2-(2a+1)x+2lnx(a∈R).
(1)若曲線y=f(x)在x=1和x=3處的切線互相平行,求a的值;
(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)設(shè)g(x)=x2-2x,若對(duì)任意x1∈(0,2],均存在x2∈(0,2],使得f(x1)<g(x2),求a的取值范圍.
解析 f′(x)=ax-(2a+1)+(x>0).
(1)由f′(1)=f′(3),解得a=.
(2)f′(x)=(x>0).
①當(dāng)a≤0時(shí),x>0,ax-1<0,
在區(qū)間(0,2)上f′(x)>0;在區(qū)間(2,+∞)上f′(x)<0.
故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間(0,2),單調(diào)遞減區(qū)間是(2,+∞).
②當(dāng)0<a<時(shí),>2,
在區(qū)間(0,2)和上f′(x)>0;在區(qū)間上f′(x)<0,故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,2)和(,+∞),
單調(diào)遞減區(qū)間是.
③當(dāng)a=時(shí),f′(x)=,
故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,+∞).
④當(dāng)a>時(shí),0<<2,
在區(qū)間和(2,+∞)上f′(x)>0;在區(qū)間上f′(x)<0,故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是和(2,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間是.
(3)由已知,在(0,2]上有f(x)max<g(x)max.
由已知,g(x)max=0,由(2)可知,
①當(dāng)a≤時(shí),f(x)在(0,2]上單調(diào)遞增,
故f(x)max=f(2)=2a-2(2a+1)+2ln2=-2a-2+2ln2.
所以,-2a-2+2ln2<0,解得a>ln2-1.
故ln2-1<a≤.
②當(dāng)a>時(shí),f(x)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,故f(x)max=f()=-2--2lna.
由a>可知lna>ln>ln=-1,2lna>-2,-2lna<2.
所以,-2-2lna<0,f(x)max<0.
綜上所述,a>ln2-1.
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已知函數(shù)f(x)= (a、b為常數(shù)),且方程f(x)-x+12=0有兩個(gè)實(shí)根為x1=3,x2=4.
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(本小題滿分l2分)
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(1)求證:函數(shù)y=f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù);
(2)若f(x)<2x在(1,+∞)上恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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( (本小題滿分13分)
已知函數(shù)f(x)=(a-1)x+aln(x-2),(a<1).
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)設(shè)a<0時(shí),對(duì)任意x1、x2∈(2,+∞),<-4恒成立,求a的取值范圍.
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