Question

16．（1）求和：S_n=1$\frac{1}{2}+2\frac{1}{4}+3\frac{1}{8}+…+（{n+\frac{1}{2^n}}）$．
（2）a_n=$\frac{1}{{n（{n+2}）}}，n∈{N^+}$，求此數(shù)列的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）分組分別利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．
（2）利用“裂項(xiàng)求和”方法即可得出．

解答 解：（1）S_n=（1+2+…+n）+$（\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}）$=$\frac{n（n+1）}{2}$+$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{n（n+1）}{2}$+1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．
（2）a_n=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，
∴此數(shù)列的前n項(xiàng)和S_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）]$
=$\frac{1}{2}（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$
=$\frac{3}{4}$-$\frac{2n+3}{2（n+1）（n+2）}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．