某單位的聯(lián)歡活動(dòng)中有一種摸球游戲，已知甲口袋中大小相同的3個(gè)球，其中2個(gè)紅球，1個(gè)黑球；乙口袋中有大小相同的2個(gè)球，其中1個(gè)紅球，1個(gè)白球．每次從一只口袋中摸一個(gè)球，確定顏色后再放回．摸球的規(guī)則是：先從甲口袋中摸一個(gè)球，如果摸到的不是紅球，繼續(xù)從甲口袋中摸一個(gè)球，只有當(dāng)從甲口袋中摸到紅球時(shí)，才可繼續(xù)從乙口袋里摸球．從每個(gè)口袋里摸球時(shí)，如果連續(xù)兩次從同一口袋中摸到的都不是紅球，則該游戲者的游戲停止．游戲規(guī)定，如果游戲者摸到2個(gè)紅球，那么游戲者就中獎(jiǎng)．現(xiàn)假設(shè)各次摸球均互不影響．
（Ⅰ）一個(gè)游戲者只摸2次就中獎(jiǎng)的概率；
（Ⅱ）在游戲中，如果某一個(gè)游戲者不放棄所有的摸球機(jī)會(huì)，記他摸球的次數(shù)為ξ，求ξ 的數(shù)學(xué)期望．
分析：從甲口袋中摸一個(gè)球，摸到的球是紅球的概率為
2
3
，從乙口袋里摸一個(gè)球，摸到的球是紅球的概率為
1
2
．
（I）一個(gè)游戲者只摸2次就中獎(jiǎng)，說(shuō)明他第一次從甲口袋中摸到的球是紅球，第二次從乙口袋中摸到的球也是紅球，利用相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式即可得出．．
（II）ξ可取2，3，4．用A表示“從甲口袋中摸一個(gè)球，摸到的球是紅球”，
.
A
表示“從甲口袋中摸一個(gè)球，摸到的球不是紅球”，則P（A）=
2
3
，P(
.
A
)=
1
3
．用B表示“從乙口袋中摸一個(gè)球，摸到的球是紅球”，
.
B
表示“從乙口袋中摸一個(gè)球，摸到的球不是紅球”，則P（B）=P(
.
B
)=
1
2
．
P（ξ=2）=P（AB）+P(
.
A
.
A
)；P（ξ=3）=P(A
.
B
B)+P(A
.
B
.
B
)+P(
.
A
AB)；P（ξ=4）=1-P（ξ=2）-P（ξ=3）．得出分布列，再由公式求期望即可
解答：解：從甲口袋中摸一個(gè)球，摸到的球是紅球的概率為
2
3
，從乙口袋里摸一個(gè)球，摸到的球是紅球的概率為
1
2
．
（I）一個(gè)游戲者只摸2次就中獎(jiǎng)，說(shuō)明他第一次從甲口袋中摸到的球是紅球，第二次從乙口袋中摸到的球也是紅球，
故所求的概率P=
2
3
×
1
2
=
1
3
．
（II）ξ可取2，3，4．
用A表示“從甲口袋中摸一個(gè)球，摸到的球是紅球”，
.
A
表示“從甲口袋中摸一個(gè)球，摸到的球不是紅球”，則P（A）=
2
3
，P(
.
A
)=
1
3
．
用B表示“從乙口袋中摸一個(gè)球，摸到的球是紅球”，
.
B
表示“從乙口袋中摸一個(gè)球，摸到的球不是紅球”，則P（B）=P(
.
B
)=
1
2
．
P（ξ=2）=P（AB）+P(
.
A
.
A
)=
2
3
×
1
2
+
1
3
×
1
3
=
4
9
．
P（ξ=3）=P(A
.
B
B)+P(A
.
B
.
B
)+P(
.
A
AB)=
2
3
×
1
2
×
1
2
+
2
3
×
1
2
×
1
2
+
1
3
×
2
3
×
1
2
=
4
9
．
P（ξ=4）=1-P（ξ=2）-P（ξ=3）=
1
9
．
可得ξ的分布列為
 ξ  2  3  4
 P（ξ）  
4
9
  
4
9
  
1
9
Eξ=2×
4
9
+3×
4
9
+4×
1
9
=
8
3
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式、相互對(duì)立事件的概率計(jì)算公式、互斥事件的概率計(jì)算、分類(lèi)討論、隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望，屬于難題．
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