已知定義在R上的函數(shù)f(x),滿足條件:①f(x)+f(-x)=2,②對非零實(shí)數(shù)x,都有2f(x)+f(
1
x
)=2x+
1
x
+3

(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)設(shè)函數(shù)g(x)=
f2(x)-2x
  (x≥0)
,直線y=
2
 n-x
與函數(shù)y=g(x)交于An,又Bn為An關(guān)于直線y=x的對稱點(diǎn),(其中n∈N*),求|AnBn|;
(3)設(shè)an=|AnBn|,Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,求證:當(dāng)n≥2時(shí),Sn2>2(
S2
2
+
S3
3
+…+
Sn
n
)
分析:(1)當(dāng)x≠0時(shí),由2f(x)+f(
1
x
)=2x+
1
x
+3
,可得2f(
1
x
)+f(x)=
2
x
+x+3
,兩式聯(lián)立,即可得函數(shù)f(x)的解析式;
(2)由(1)得g(x)=
x2+1
,直線y=
2
 n-x
與函數(shù)y=g(x)聯(lián)立,求出An、Bn的坐標(biāo),從而可求|AnBn|;
(3)由(2)知an=|AnBn|=
1
n
,利用Sn-
1
n
=Sn-1
,可得當(dāng)n≥2時(shí),Sn2-Sn-12=
2Sn
n
-
1
n2
,累加得:Sn2=2(
S2
2
+
S3
3
+…+
Sn
n
)+1-(
1
22
+
1
32
+…+
1
n2
)
,從而可證結(jié)論.
解答:解:(1)當(dāng)x≠0時(shí),2f(x)+f(
1
x
)=2x+
1
x
+3
,故 2f(
1
x
)+f(x)=
2
x
+x+3

兩式聯(lián)立可得,f(x)=x+1(x≠0)
又當(dāng)x=0時(shí),有f(0)=1,∴f(x)=x+1;
(2)由(1)得g(x)=
x2+1
,直線y=
2
 n-x
與函數(shù)y=g(x)聯(lián)立可得
y=
2
n-x
g(x)=
x2+1
,
An(
2n2-1
2
2
n
2n2+1
2
2
n
)

由此可得Bn(
2n2+1
2
2
n
,
2n2-1
2
2
n
)

所以,|AnBn|=
(
2n2-1
2
2
n
-
2n2+1
2
2
n
)
2
+(
2n2+1
2
2
n
-
2n2-1
2
2
n
)
2
=
1
n

(3)由(2)知an=|AnBn|=
1
n
,
Sn-
1
n
=Sn-1
,∴Sn-12=Sn2-
2Sn
n
+
1
n2
,
∴當(dāng)n≥2時(shí),Sn2-Sn-12=
2Sn
n
-
1
n2
,Sn-12-Sn-22=
2Sn-1
n-1
-
1
(n-1)2
,…,S22-S12=
2S2
2
-
1
22

累加得:Sn2=2(
S2
2
+
S3
3
+…+
Sn
n
)+1-(
1
22
+
1
32
+…+
1
n2
)

又∵1-(
1
22
+
1
32
+…+
1
n2
)
>1-[
1
1×2
+
1
2×3
+…+
1
n(n-1)
]
=1-(1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+…+
1
n-1
-
1
n
)
=
1
n
>0

Sn2>2(
S2
2
+
S3
3
+…+
Sn
n
)
點(diǎn)評:本題考查函數(shù)的解析式,考查兩點(diǎn)間的距離,考查不等式的證明,解題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)的坐標(biāo),疊加法研究數(shù)列的和.
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已知定義在R上的函數(shù)y=f(x)滿足下列條件:
①對任意的x∈R都有f(x+2)=f(x);
②若0≤x1<x2≤1,都有f(x1)>f(x2);
③y=f(x+1)是偶函數(shù),
則下列不等式中正確的是(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:f(x)=
f(x-1)-f(x-2),x>0
log2(1-x),       x≤0
  則:
①f(3)的值為
0
0
,
②f(2011)的值為
-1
-1

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已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+1)=-f(x),且x∈(-1,1]時(shí)f(x)=
1,(-1<x≤0)
-1,(0<x≤1)
,則f(3)=( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知定義在R上的函數(shù)f(x)是偶函數(shù),對x∈R都有f(2+x)=f(2-x),當(dāng)f(-3)=-2時(shí),f(2013)的值為( 。
A、-2B、2C、4D、-4

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已知定義在R上的函數(shù)f(x),對任意x∈R,都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立,若函數(shù)y=f(x+1)的圖象關(guān)于直線x=-1對稱,則f(2013)=( 。
A、0B、2013C、3D、-2013

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