Question

已知橢C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，P是橢圓上任意一點(diǎn)，若以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，橢圓短軸長為直徑的圓經(jīng)過橢圓的焦點(diǎn)，且△PF₁F₂的周長為4+2

2

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線的l是圓O：x²+y²=

4

3

上動(dòng)點(diǎn)P（x₀，y₀）（x₀-y₀≠0）處的切線，l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)Q，R，證明：∠QOR的大小為定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，橢圓短軸長為直徑的圓經(jīng)過橢圓的焦點(diǎn)，可得b=c，利用△PF₁F₂的周長為4+2

2

，可得a+c=2+

2

，從而可求橢圓的幾何量，進(jìn)而可得橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線的l方程與橢圓方程聯(lián)立，記Q（x₁，y₁），R（x₂，y₂），利用韋達(dá)定理，確定x₁x₂+y₁y₂=0，即可證得結(jié)論．

解答：（Ⅰ）解：因?yàn)橐宰鴺?biāo)原點(diǎn)為圓心，橢圓短軸長為直徑的圓經(jīng)過橢圓的焦點(diǎn)，所以b=c，可得a=

2

c，
又因?yàn)椤鱌F₁F₂的周長為4+2

2

，所以a+c=2+

2

，所以c=

2

，
所以a=2，b=

2

，所以所求橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

2

=1．   　　　　　   …（5分）
（Ⅱ）證明：直線的l方程為x0x+y0y=

4

3

，且x₀²+y₀²=

4

3

，記Q（x₁，y₁），R（x₂，y₂），
聯(lián)立方程

x2 4 + y2 2 =1 x0x+y0y= 4 3

，消去y得（

y

2 0

+2

x

2 0

）x²-

16

3

x0x+

32

9

-4

y

2 0

=0，
∴x₁+x₂=

16 3 x0

y 2 0 +2 x 2 0

，x₁x₂=

32 9 -4 y 2 0

y 2 0 +2 x 2 0

，…（8分）
∴y1y2=

1

y 2 0

(

4

3

-x0x1)(

4

3

-x0x2)=

16 9 -4 x 2 0

y 2 0 +2 x 2 0

，…（10分）
∴x₁x₂+y₁y₂=

32 9 -4 y 2 0

y 2 0 +2 x 2 0

+

16 9 -4 x 2 0

y 2 0 +2 x 2 0

=0
∴∠QOR=90°為定值．                                            …（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確運(yùn)用韋達(dá)定理是關(guān)鍵．