Question

已知A(3，

3

)，O是原點(diǎn)，點(diǎn)P（x，y）的坐標(biāo)滿足

3 x-y≤0 x- 3 y+2≥0 y≥0.

，
（1）求

OA • OP

| OA |

的最大值；
（2）求z=

OA • OP

| OP |

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）做出滿足條件足

3 x-y≤0 x- 3 y+2≥0 y≥0

的可行域，根據(jù)平面向量數(shù)量積的幾何意義，可得目標(biāo)函數(shù)

OA • OP

| OA |

表示

OP

在

OA

上的投影，過(guò)P作

OA

的垂線PH，垂足為H，易得當(dāng)P在可行域內(nèi)移動(dòng)到直線

3

x-y=0和直線x-

3

y+2=0的交點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)有最大值．
（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，可得當(dāng)∠AOP=

5π

6

時(shí)，目標(biāo)函數(shù)有最小值，當(dāng)∠AOP=

π

6

時(shí)，目標(biāo)函數(shù)有最大值，進(jìn)而得到z=

OA • OP

| OP |

的取值范圍．

解答：解：（1）作出可行域如圖，則

OA • OP

| OA |

=|

OP

|cos∠AOP，
又∠AOP是

OA

與

OP

的夾角，
∴目標(biāo)函數(shù)

OA • OP

| OA |

表示

OP

在

OA

上的投影，
過(guò)P作

OA

的垂線PH，垂足為H，
當(dāng)P在可行域內(nèi)移動(dòng)到直線

3

x-y=0和直線x-

3

y+2=0的交點(diǎn)B(1，

3

)時(shí)，

OP

在

OA

上的投影為|

OH

|最大，此時(shí)|

OP

|=|

OB

|=2，∠AOP=∠AOB=

π

6

，
∴

OA • OP

| OA |

的最大值為|

OB

|cos∠AOB=2cos

π

6

=

3

（2）z=

OA • OP

| OP |

=|

OA

|cos∠AOP=2

3

cos∠AOP，
因?yàn)?span id="1vhhljh" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">∠AOP=[

π

6

，

5π

6

]，所以當(dāng)∠AOP=

π

6

時(shí)，zmax=2

3

cos

π

6

=3；
當(dāng)∠AOP=

5π

6

時(shí)，zmin=2

3

cos

5π

6

=-3．∴z=

OA • OP

| OP |

的取值范圍為[-3，3]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用，平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，余弦函數(shù)的性質(zhì)，其中根據(jù)平面向量數(shù)量積運(yùn)算的幾何意義，分析出目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，是解答本題的關(guān)鍵．