Question

2．已知函數(shù)f（x）=e^x，x∈R．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）若m＞0，討論函數(shù)$g（x）=\frac{f（x）}{x^2}-m$零點的個數(shù)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求函數(shù)f（x）在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）由g（x）=0，利用參數(shù)轉(zhuǎn)化法，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，利用數(shù)形結(jié)合進行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=e^x，
則f′（1）=e，f（1）=e，
則函數(shù)f（x）在x=1處的切線方程y-e=e（x-1），
即y=ex；
（Ⅱ）由$g（x）=\frac{f（x）}{x^2}-m$=0，
得m=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$，
設(shè)h（x）=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$，
則h′（x）=$\frac{{e}^{x}•{x}^{2}-{e}^{x}•2x}{{x}^{4}}$=$\frac{{e}^{x}（x-2）}{{x}^{3}}$，
當(dāng)x＜0時，h′（x）＞0，此時函數(shù)單調(diào)遞增，且h（x）＞0，
當(dāng)x＞2時，h′（x）＞0，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)0＜x＜2時，h′（x）＜0，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
即當(dāng)x=2時，函數(shù)h（x）取得極小值h（2）=$\frac{{e}^{2}}{4}$，
作出函數(shù)h（x）的草圖如圖
當(dāng)m＞0時，
若m＞$\frac{{e}^{2}}{4}$時，h（x）=m有3個不同的根，即函數(shù)g（x）有3個不同的零點，
若m=$\frac{{e}^{2}}{4}$時，h（x）=m有2個不同的根，即函數(shù)g（x）有2個不同的零點，
若0＜m＜$\frac{{e}^{2}}{4}$時，h（x）=m有1個不同的根，即函數(shù)g（x）有1個不同的零點．

點評 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，利用函數(shù)與方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點個數(shù)問題，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．