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3.過(guò)已知點(diǎn)A(1,3)的直線l與x軸、y軸分別交于P、Q兩點(diǎn),求使|AP|•|AQ|最小的直線l的方程.

分析 設(shè)直線l的傾斜角為α,則α∈(\frac{π}{2},π).設(shè)直線l的參數(shù)方程為:\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=3+tsinα}\end{array}\right.,分別令x=0,y=0,解得t1,t2.利用|AP|•|AQ|=|t1t2|,及其三角函數(shù)的單調(diào)性與最值即可得出.

解答 解:設(shè)直線l的傾斜角為α,則α∈(\frac{π}{2},π)
設(shè)直線l的參數(shù)方程為:\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=3+tsinα}\end{array}\right.,
分別令x=0,y=0,
解得t1=\frac{-1}{cosα},t2=\frac{-3}{sinα}
∴|AP|•|AQ|=|t1t2|=\frac{3}{|sinαcosα|}=\frac{6}{|sin2α|}≥6,當(dāng)且僅當(dāng)α=\frac{3π}{4}時(shí)取等號(hào).
∴直線l的方程為:y-3=(x-1)tan\frac{3π}{4},化為:x+y-4=0.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的單調(diào)性與最值、直線的參數(shù)方程,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

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