Question

3．過(guò)已知點(diǎn)A（1，3）的直線l與x軸、y軸分別交于P、Q兩點(diǎn)，求使|AP|•|AQ|最小的直線l的方程．

Answer 1

分析 設(shè)直線l的傾斜角為α，則α∈$（\frac{π}{2}，π）$．設(shè)直線l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=3+tsinα}\end{array}\right.$，分別令x=0，y=0，解得t₁，t₂．利用|AP|•|AQ|=|t₁t₂|，及其三角函數(shù)的單調(diào)性與最值即可得出．

解答 解：設(shè)直線l的傾斜角為α，則α∈$（\frac{π}{2}，π）$．
設(shè)直線l的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=3+tsinα}\end{array}\right.$，
分別令x=0，y=0，
解得t₁=$\frac{-1}{cosα}$，t₂=$\frac{-3}{sinα}$．
∴|AP|•|AQ|=|t₁t₂|=$\frac{3}{|sinαcosα|}$=$\frac{6}{|sin2α|}$≥6，當(dāng)且僅當(dāng)α=$\frac{3π}{4}$時(shí)取等號(hào)．
∴直線l的方程為：y-3=（x-1）$tan\frac{3π}{4}$，化為：x+y-4=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的單調(diào)性與最值、直線的參數(shù)方程，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．