Question

8．已知函數(shù)f（x）=ln（x+1）-$\frac{x}{x+1}$．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求曲線y=f（x）的極值；
（3）求證：對任意的正數(shù)a與b，恒有l(wèi)na-lnb≥1-$\frac{a}$．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)f（x）的定義域，再求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的極值即可；
（3）所證不等式等價(jià)為$ln\frac{a}+\frac{a}-1≥0$，而f（x）=ln（1+x）+$\frac{1}{x+1}$-1，設(shè)t=x+1，則F（t）=lnt+$\frac{1}{t}$-1，由（1）結(jié)論可得，F(xiàn)（t）在（0，1）單調(diào)遞減，在（1，+∞）單調(diào)遞增，從而得到證明．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=ln（x+1）-$\frac{x}{x+1}$，
∴f′（x）=$\frac{1}{x+1}$-$\frac{1}{{（x+1）}^{2}}$，
由f′（x）＞0⇒x＞0；由f′（x）＜0⇒-1＜x＜0；
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間（0，+∞），單調(diào)減區(qū)間（-1，0），
（2）由（1）得：f（x）有極小值，極小值是f（0）=0；
證明：（3）所證不等式等價(jià)為$ln\frac{a}+\frac{a}-1≥0$，
而$f（x）=ln（1+x）+\frac{1}{x+1}-1$，
設(shè)t=x+1，則$F（t）=lnt+\frac{1}{t}-1$，
由（1）結(jié)論可得，F(xiàn)（t）在（0，1）單調(diào)遞減，在（1，+∞）單調(diào)遞增，
由此F（t）_min=F（1）=0，
所以F（t）≥F（1）=0，
即$F（t）=lnt+\frac{1}{t}-1≥0$，
記$t=\frac{a}$代入得證．

點(diǎn)評 本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明，是一道中檔題．