Question

已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為，連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面積為2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若過點(diǎn)（2，0）的直線l的與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)∠AOB為銳角時(shí)，求直線l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由=得a²=2c²=2b²，
依題意×2a×2b=，即ab=，解方程組得a=，b=1，
所以橢圓C的方程為．
（2）設(shè)l：y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由，得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，
由△=64k⁴-4（2k²+1）（8k²-2）＞0，得，且，，
于是=k²[x₁x₂-2（x₁+x₂）+4]=．
∵∠AOB為銳角，∴，
∴=＞0，解得，
又，∴，解得-＜k＜-或＜k＜，
所以直線l的斜率k的取值范圍是（-，-）∪（，）．
分析：（1）由離心率為及a²=b²+c²可得a，b關(guān)系，由菱形面積得×2a×2b=，聯(lián)立方程組即可求得a，b；
（2）設(shè)l：y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由∠AOB為銳角，得，即x₁x₂+y₁y₂=k²[x₁x₂-2（x₁+x₂）+4]＞0，聯(lián)立直線方程與橢圓方程消去y得x的二次方程，則△＞0，由韋達(dá)定理可把上式變?yōu)閗的不等式，聯(lián)立可得關(guān)于k的不等式組，解出即可；
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、橢圓方程的求解，判別式、韋達(dá)定理、弦長公式是解決該類題目的基礎(chǔ)，解決該類問題常運(yùn)用方程思想．