Question

6．△DEF的外接圓的圓心為O，半徑R=4，如果$\overrightarrow{OD}$+$\overrightarrow{DE}$+$\overrightarrow{DF}$=$\overrightarrow{0}$，且|$\overrightarrow{OD}$|=|$\overrightarrow{DF}$|，則向量$\overrightarrow{EF}$在$\overrightarrow{FD}$方向上的投影為（　�。�

• A． 6
• B． -6
• C． $2\sqrt{3}$
• D． $-2\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{0}$便可得出DO經過EF的中點，從而有DO⊥EF，而連接OF便可得到△DOF為等邊三角形，這樣即可得到∠DFE=30°，根據DF=4即可求出EF的值，從而計算$|\overrightarrow{EF}|cos＜\overrightarrow{EF}，\overrightarrow{FD}＞$便可求出$\overrightarrow{EF}$在$\overrightarrow{FD}$方向上的投影．

解答 解：如圖，
由$\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{0}$得，$\overrightarrow{DO}=\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{DF}$；
∴DO經過邊EF的中點；
∴DO⊥EF，連接OF，∵$|\overrightarrow{OD}|=|\overrightarrow{DF}|$=4；
∴△DOF為等邊三角形；
∴∠ODF=60°；
∴∠DFE=30°，且$EF=4×\frac{\sqrt{3}}{2}×2=4\sqrt{3}$；
∴$\overrightarrow{EF}$在$\overrightarrow{FD}$方向上的投影為$|\overrightarrow{EF}|cos＜\overrightarrow{EF}，\overrightarrow{FD}＞=4\sqrt{3}cos150°=-6$．
故選：B．

點評 考查向量的數乘運算，向量加法的平行四邊形法則，圓心和弦中點的連線垂直于弦，三角函數的定義，以及一個向量在另一個向量方向上投影的定義及計算公式，向量夾角的概念．