Question

在數列{a_n）中，已知a₁=，a_n=3a_n-1+3ⁿ-1（n≥2，n∈N^*）．
（1）求證：{}是等差數列；
（2）求數列{a_n}的通項公式a_n及它的前n項和S_n．

Answer 1

（1）證明：∵a_n=3a_n-1+3ⁿ-1，
∴a_n-=3（a_n-1-）+3ⁿ，
∴-==1
∴{}是等差數列，且公差為1；
（2）解：由（1）{}是等差數列，且公差為1，a₁=，
∴=+（n-1）×1=n，∴
∴S_n=（1×3¹+2×3²+…+n•3ⁿ）+
令T_n=1×3¹+2×3²+…+n•3ⁿ，①則
3T_n=1×3²+2×3³+…+n•3ⁿ⁺¹，②
①-②：-2T_n=3¹+3²+…+3ⁿ-n•3ⁿ⁺¹=-
∴T_n=
∴S_n=+
分析：（1）利用數列遞推式，結合-，即可證得結論；
（2）確定數列的通項，利用錯位相減法可求數列的和．
點評：本題考查數列遞推式，考查等差數列的證明，考查數列的通項與求和，考查學生的計算能力，屬于中檔題．