過拋物線C：x2=4y的焦點F作直線l，交C于A，B兩點．若F恰好為線段AB的三等分點，則直線l的斜率k=
2
4
或-
2
4
2
4
或-
2
4
．
分析：由拋物線C：x2=4y得焦點F（0，1）．設A(x1，
x
2
1
4
)，B(x2，
x
2
2
4
)．由于F恰好為線段AB的三等分點，利用向量可得
AF
=2
FB
，或
AF
=
1
2
FB
．即可得到橫坐標之間的關系．另一方面可得直線l的方程為y=kx+1，與拋物線的方程聯(lián)立即可得到根與系數(shù)的關系，即可解出k的值．
解答：解：由拋物線C：x2=4y得焦點F（0，1）．
設A(x1，
x
2
1
4
)，B(x2，
x
2
2
4
)．∵F恰好為線段AB的三等分點，∴
AF
=2
FB
，或
AF
=
1
2
FB
．
①當
AF
=2
FB
時，得-x1=2x2，由直線l的方程為y=kx+1，與拋物線方程聯(lián)立得
y=kx+1
x2=4y
，消去y得到x2-4kx-4=0，得到x1+x2=4k，x1x2=-4．
聯(lián)立
-x1=2x2
x1+x2=4k
x1x2=-4
，解得k=±
2
4
．
②當
AF
=
1
2
FB
時，同上，k=±
2
4
．
故答案為±
2
4
．
點評：本題綜合考查了拋物線的標準方程及其性質(zhì)、直線與拋物線的相交關系、根與系數(shù)的關系、向量的共線、三等分點等基礎知識與基本技能，考查了推理能力和計算能力．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知A、B兩點在拋物線C：x2=4y上，點M（0，4）滿足
MA
=λ
BM
．
（1）求證：
OA
⊥
OB
；
（2）設拋物線C過A、B兩點的切線交于點N．
①求證：點N在一條定直線上；
②設4≤λ≤9，求直線MN在x軸上截距的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知過點A（-4，0）的動直線l與拋物線C：x2=2py（p＞0）相交于B、C兩點．當l的斜率是
1
2
時，
AC
=4
AB
．
（1）求拋物線C的方程；
（2）設BC的中垂線在y軸上的截距為b，求b的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知拋物線C：x2=2py（p＞0）上一點A（m，4）到其焦點的距離為
174
．
（I）求p于m的值；
（Ⅱ）設拋物線C上一點p的橫坐標為t（t＞0），過p的直線交C于另一點Q，交x軸于M點，過點Q作PQ的垂線交C于另一點N．若MN是C的切線，求t的最小值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知過點A（0，4）的直線l與以F為焦點的拋物線C：x2=py相切于點T（-4，yo）；中心在坐標原點，一個焦點為F的橢圓與直線l有公共點．
（1）求直線l的方程和焦點F的坐標；
（2）求當橢圓的離心率最大時橢圓的方程；
（3）設點M（x1，yl）是拋物線C上任意一點，D（0，-2）為定點，是否存在垂直于y軸的直線l′被以MD為直徑的圓截得的弦長為定值？請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知拋物線C：x2=2py（p＞0）上一點A（m，4）到其焦點的距離為
174
．
（I）求p與m的值；
（II）設拋物線C上一點P的橫坐標為t（t＞0），過P的直線交C于另一點Q，交x軸于點M，過點M作拋物線的切線MN，N（非原點）為切點，以MN為直徑作圓A，若圓A恰好經(jīng)過點Q，求t的最小值．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案