Question

已知函數(shù)f（x）=（asinx+bcosx）•e^-x在x=

π

6

處有極值，則函數(shù)y=asinx+bcosx的圖象可能是（　�。�

• A、
• B、
• C、
• D、

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的圖象

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：先對(duì)f（x）求導(dǎo)，再利用極值的性質(zhì)求出a，b的關(guān)系式，代入y=asinx+bcosx，再利用函數(shù)的性質(zhì)（特殊點(diǎn)、單調(diào)性等）進(jìn)行篩選．

解答： 解：∵f′（x）=（acosx-bsinx）•e^-x-（asinx+bcosx）•e^-x=e^-x[（a-b）cosx-（a+b）sinx]，
又∵f（x）=（asinx+bcosx）•e^-x在x=

π

6

處有極值，∴f′(

π

6

)=e-

π

6

[(a-b)cos

π

6

-(a+b)sin

π

6

]=0，
整理得a=

1+ 3

3 -1

b，代入y=asinx+bcosx后得y=b[(2+

3

)sinx+cosx]①，∴y′=b[（2+

3

）cosx-sinx]②，
對(duì)于A項(xiàng)，∵f（0）＜0，所以b＜0，此時(shí)將x=

π

6

分別代入①②，經(jīng)計(jì)算f（

π

6

）＜0，f′(

π

6

)＜0，與圖象相符，所以A選項(xiàng)符合題意；
對(duì)于B項(xiàng)，∵f（0）＞0，所以b＞0，此時(shí)將x=

π

6

分別代入①②，經(jīng)計(jì)算f′(

π

6

)＞0，與圖象在x=

π

6

處是減函數(shù)不符，所以B選項(xiàng)不符合題意；
對(duì)于C項(xiàng)，∵f（0）＜0，所以b＜0，此時(shí)將x=

π

6

分別代入①②，經(jīng)計(jì)算f′(

π

6

)＜0，與圖象在x=

π

6

處是增函數(shù)不符，所以C選項(xiàng)不符合題意；
對(duì)于D項(xiàng)，∵f（0）＜0，所以b＜0，此時(shí)將x=

π

6

代入①，經(jīng)計(jì)算f（

π

6

）＜0，與圖象不符，所以D選項(xiàng)不符合題意．
故選A

點(diǎn)評(píng)：由函數(shù)式確定圖象的問題，一般從函數(shù)的性質(zhì)（定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性、周期、漸近線等）分析入手，注意結(jié)合特殊點(diǎn)、極值點(diǎn)的應(yīng)用．