Question

（06年山東卷文）（12分）

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD為等腰梯形，AB∥DC,AC⊥BD,AC與BD相交于點O，且頂點P在底面上的射影恰為O點，又BO=2,PO=,PB⊥PD.

(Ⅰ)求異面直接PD與BC所成角的余弦值；

(Ⅱ)求二面角P－AB－C的大小；

(Ⅲ)設(shè)點M在棱PC上，且為何值時，PC⊥平面BMD.

Answer 1

解析：解法一：

平面，

又，

由平面幾何知識得：

（Ⅰ）過做交于于，連結(jié)，則或其補角為異面直線與所成的角，

四邊形是等腰梯形，

又，四邊形是平行四邊形。

，是的中點，且

又，為直角三角形，

在中，由余弦定理得

故異面直線PD與所成的角的余弦值為

（Ⅱ）連結(jié)，由（Ⅰ）及三垂線定理知，為二面角的平面角

，

二面角的大小為

（Ⅲ）連結(jié)，

平面平面，

，又在中，

，，

，故時，平面

解法二： 平面，

又，，

由平面幾何知識得：

以為原點，分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

則各點坐標為，，，，，

（Ⅰ），，

。

。

故直線與所成的角的余弦值為

（Ⅱ）設(shè)平面的一個法向量為，

由于，，

由   得 

取，又已知平面ABCD的一個法向量，

又二面角為銳角，

所求二面角的大小為

（Ⅲ）設(shè)，由于三點共線，，

平面，

由（1）（2）知：，。

，

故時，平面。