Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js
12.已知數(shù)列{an}滿足a1=12,an+1an=2an+1-1(n∈N*),令bn=an-1.
(Ⅰ)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)令cn=a2n+1a2n,求證:c1+c2+…+cn<n+724

分析 (I)an+1an=2an+1-1(n∈N*),bn=an-1,即an=bn+1.代入化為:1n+1-1n=-1,利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出.
(II)由(I)可得:an=bn+1=1-1n+1=nn+1.代入cn=a2n+1a2n=1+1212n12n+2,由于n≥2時(shí),2n+2≤2n+1-1,可得12n12n+212n112n+11,利用“裂項(xiàng)求和”、數(shù)列的單調(diào)性即可得出.

解答 (I)解:∵an+1an=2an+1-1(n∈N*),bn=an-1,即an=bn+1.
∴(bn+1+1)(bn+1)=2(bn+1+1)-1,化為:1n+1-1n=-1,
∴數(shù)列{1n}是等差數(shù)列,首項(xiàng)為-2,公差為-1.
1n=-2-(n-1)=-1-n,∴bn=-1n+1
(II)證明:由(I)可得:an=bn+1=1-1n+1=nn+1
∴cn=a2n+1a2n=2n+12n+1+12n2n+1=2n+122n2n+1=1+1212n12n+2,
∵n≥2時(shí),2n+2≤2n+1-1,∴12n12n+212n112n+11,
∴c1+c2+…+cn≤n+121214+12122112n+11=n+724-122n+11<n+724

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”方法、“放縮法”,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

10.若α2是第四象限角,且sinα2=-33,則cosα=13

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

3.在直三棱柱中,∠ACB=90°,AC=BC=1,側(cè)棱AA1=2,M為A1B1的中點(diǎn),則AM與平面AA1C1C所成角的正切值為( �。�
A.13B.33C.23D.23

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

20.已知雙曲線M的焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2在x軸上,直線7x+3y=0是雙曲線M的一條漸近線,點(diǎn)P在雙曲線M上,且PF1PF2=0,如果拋物線y2=16x的準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線M的一個(gè)焦點(diǎn),那么|PF1||PF2|=( �。�
A.21B.14C.7D.0

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

7.已知拋物線C:y2=4x,直線l:y=12x+b與C交于A、B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)當(dāng)直線l過拋物線C的焦點(diǎn)F時(shí),求|AB|;
(2)是否存在直線l使得直線OA⊥OB?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

17.直線{x=1+12ty=132t( t為參數(shù))傾斜角為( �。�
A.π6B.π3C.2π3D.5π6

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

4.等比數(shù)列{an}中,已知a1=2,a4=16.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若a1,a2分別為等差數(shù)列{bn}的第1項(xiàng)和第2項(xiàng),數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn,求證:1S1+1S2+1S3+…+1Sn<1.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

1.已知雙曲線C的焦點(diǎn)在x軸上,漸近線方程是y=±2x,則C的離心率e=5

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

2.已知實(shí)數(shù)x,y滿足不等式組{x1xy+102xy20,則x2+y2的取值范圍是[1,25].

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案