Question

16．如圖，已知ABCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，E，F(xiàn)分別AC，AD是上的動點，且$\frac{AE}{AC}$=$\frac{AF}{AD}$=λ（0＜λ＜1）．
（Ⅰ）求證：不論λ為何值，總有EF⊥平面ABC；
（Ⅱ）若三棱錐A-BEF的體積為$\frac{{\sqrt{6}}}{12}$，求此時λ的值．

Answer 1

分析 （1）要證不論λ為何值，總有EF⊥平面ABC，只需證CD⊥平面ABC，在△BCD中，根據(jù)∠BCD=90°得證．
（2）根據(jù)$V=\frac{1}{3}{S_{△AEB}}•EF=\frac{1}{3}•\frac{{\sqrt{6}}}{2}•{λ^2}=\frac{{\sqrt{6}}}{12}$，即可求此時λ的值．

解答 （I）證明：因為AB⊥平面BCD，所以AB⊥CD，
又在△BCD中，∠BCD=90°，所以，BC⊥CD，又AB∩BC=B，
所以，CD⊥平面ABC，
又在△ACD，E、F分別是AC、AD上的動點，且$\frac{AE}{AC}$=$\frac{AF}{AD}$=λ（0＜λ＜1）
所以，不論λ為何值，總有EF⊥平面ABC…（6分）
（II）解：$|BD|=\sqrt{|BC{|^2}+|CD{|^2}}=\sqrt{2}$，$|AB|=\sqrt{3}|BD|=\sqrt{6}$，${S_{△ABC}}=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．
${S_{△AEB}}=λ•{S_{△ABC}}=\frac{{\sqrt{6}}}{2}λ$，h=|EF|=λ•|CD|=λ，
所以$V=\frac{1}{3}{S_{△AEB}}•EF=\frac{1}{3}•\frac{{\sqrt{6}}}{2}•{λ^2}=\frac{{\sqrt{6}}}{12}$
解之得$λ=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$…（12分）

點評 本題考查考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．屬于中檔題．