Question

2．在等差數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₆=21，記數(shù)列{$\frac{1}{a_n}$}的前n項和為S_n，若S_2n+1-S_n≤$\frac{m}{15}$對n∈N₊恒成立，則正整數(shù)m的最小值為5．

Answer 1

分析 由等差數(shù)列的通項公式求出數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的通項公式，證明數(shù)列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）是遞減數(shù)列，可求其最大值，進而可得m的取值范圍，結合m為正整數(shù)可得．

解答 解：等差數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₆=21=a₁+5d，∴公差 d=4，a_n=1+（n-1）d=4n-3，$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{4n-3}$．
記數(shù)列$\{\frac{1}{a_n}\}$的前n項和為S_n，則S_n =$\frac{1}{1}$+$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{9}$+…+$\frac{1}{4n-3}$，
∵（S_2n+1-S_n）-（S_2n+3-S_n+1）=（$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+$\frac{1}{{a}_{n+2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2n+1}}$）-（$\frac{1}{{a}_{n+2}}$+$\frac{1}{{a}_{n+3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2n+3}}$）
=$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{2n+2}}$-$\frac{1}{{a}_{2n+3}}$=$\frac{1}{4n+1}$-$\frac{1}{8n+5}$-$\frac{1}{8n+9}$=（$\frac{1}{8n+2}$-$\frac{1}{8n+5}$）+（$\frac{1}{8n+2}$-$\frac{1}{8n+9}$）＞0，
∴數(shù)列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）是遞減數(shù)列，
∴數(shù)列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）的最大項為S₃-S₁=$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{9}$=$\frac{14}{45}$，
∴由題意可得，只需$\frac{14}{45}$≤$\frac{m}{15}$，即 m≥$\frac{14}{3}$，又∵m是正整數(shù)，∴m的最小值為5，
故答案為：5．

點評 本題考查數(shù)列與不等式的結合，證數(shù)列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）是遞減數(shù)列并求數(shù)列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）的最大值是解決問題的關鍵，屬中檔題．