Question

5．若函數f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+φ）（|φ|＜$\frac{π}{2}$）的圖象關于直線x=$\frac{π}{12}$對稱，且當x₁，x₂∈（-$\frac{17π}{12}$，-$\frac{2π}{3}$），x₁≠x₂時，f（x₁）=f（x₂），則f（x₁+x₂）等于（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{6}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{4}$

Answer 1

分析 由正弦函數的對稱性可得sin（2×$\frac{π}{12}$+φ）=±1，結合范圍|φ|＜$\frac{π}{12}$，即可解得φ的值，得到函數f（x）解析式，由題意利用正弦函數的性質可得x₁+x₂=-$\frac{11π}{6}$代入函數解析式利用誘導公式即可計算求值．

解答 解：∵sin（2×$\frac{π}{12}$+φ）=±1，
∴φ=kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
又∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{3}$，
∴f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{3}$），
當x∈（-$\frac{17π}{12}$，-$\frac{2π}{3}$），2x+$\frac{π}{3}$∈（-$\frac{5π}{2}$，-π），區(qū)間內有唯一對稱軸x=-$\frac{11π}{12}$，
∵x₁，x₂∈（-$\frac{17π}{12}$，-$\frac{2π}{3}$），x₁≠x₂時，f（x₁）=f（x₂），
∴x₁，x₂關于x=-$\frac{11π}{12}$對稱，即x₁+x₂=-$\frac{11}{6}$π，
∴f（x₁+x₂）=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故選C．

點評 本題考查了函數單調性的綜合運用，正弦函數的性質，函數的對稱性的應用，屬于中檔題．