Question

已知函數(shù)f （x）=log₂x-3sin（2πx），則函數(shù)y=f （|x|）的零點個數(shù)為 ________．

Answer 1

30
分析：由于函數(shù)f （x）的定義域是（0，+∞），所研究的函數(shù)y=f （|x|）是一偶函數(shù)，其在（0，+∞）上的圖象與函數(shù)f （x）的在（0，+∞）上的圖象相同，故可以研究出函數(shù)f （x）=log₂x-3sin（2πx）的零點的個數(shù)，再依據(jù)偶函數(shù)的圖象對稱性即可求出函數(shù)y=f （|x|）的零點個數(shù)，又由于本題函數(shù)特殊，故常用圖象法確定其零點個數(shù)．
解答：f （x）=log₂x-3sin（2πx）的零點即log₂x=3sin（2πx）的根，
故此方程的根的個數(shù)的問題可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=log₂x與y=3sin（2πx）圖象交點個數(shù)的問題，
作出函數(shù)y=log₂x與y=3sin（2πx）圖象，如圖：
由圖可以看出，兩函數(shù)有15個交點，
故函數(shù)f （x）=log₂x-3sin（2πx）有15個零點
函數(shù)y=f （|x|）是一偶函數(shù)，其在（0，+∞）上的圖象與函數(shù)f （x）的在（0，+∞）上的圖象相同，
由上知函數(shù)y=f （|x|）的零點個數(shù)為為30個
故答案為30
點評：本題考點是函數(shù)零點的判定定理，考查用圖象法確定函數(shù)零點個數(shù)的問題，本題中函數(shù)是一偶函數(shù)數(shù)，采取了只研究其在（0，+∞）上零點個數(shù)的技巧，通過局部零點個數(shù)求出整個實數(shù)集上零點個數(shù)．