Question

2．如圖所示，⊙O₁與⊙O₂外切于點(diǎn)P，從⊙O₁上點(diǎn)A作的切線(xiàn)AB，切點(diǎn)為B，連AP（不過(guò)O₁）并延長(zhǎng)與⊙O₂交于點(diǎn)C．
（1）求證：AO₁∥CO₂；
（2）若$\frac{AC}{AB}=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，求⊙O₁的半徑與⊙O₂的半徑之比．

Answer 1

分析 （1）利用等腰三角形的性質(zhì)，證明角相等，即可證明：AO₁∥CO₂；
（2）由切割線(xiàn)定理得出AP=2PC，由（1）可得△O₁AP∽△O₂CP，即可求⊙O₁的半徑與⊙O₂的半徑之比．

解答 （1）證明：連接O₁O₂，則O₁O₂過(guò)點(diǎn)P，
∴∠O₁PA=∠O₂PC
∵∠O₁PA=∠O₁AP，∠O₂PC=∠O₂CP，
∴∠O₁AP=∠O₂CP
∴AO₁∥CO₂；
（2）解：設(shè)AB=2t，AC=$\sqrt{6}$t，
由切割線(xiàn)定理可得AB²=AP•AC，
∴AP=$\frac{A{B}^{2}}{AC}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$t，PC=$\frac{\sqrt{6}}{3}$t，
∴AP=2PC，
由（1）可得△O₁AP∽△O₂CP，
∴$\frac{A{O}_{1}}{C{O}_{2}}$=$\frac{AP}{PC}$=2，
∴⊙O₁的半徑與⊙O₂的半徑之比為2：1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等腰三角形的性質(zhì)，考查切割線(xiàn)定理的運(yùn)用，考查三角形相似的判定與性質(zhì)，屬于中檔題．