Question

數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=nsin（

n+1

2

π），其前n項(xiàng)和為S_n，則S₂₀₁₄=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：根據(jù)正弦函數(shù)的誘導(dǎo)公式和周期，分類討論可得：隨著n的值變化，a_n=nsin（

n+1

2

π）的值為n、-n或1．由此化簡S₂₀₁₄的表達(dá)式，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式即可求出答案．

解答： 解：當(dāng)n=4k（k∈Z）時(shí)，sin（

n+1

2

π）=sin

π

2

=1；當(dāng)n=4k+1（k∈Z）時(shí)，sin（

n+1

2

π）=sinπ=0，
當(dāng)n=4k+2（k∈Z）時(shí)，sin（

n+1

2

π）=sin

3π

2

=-1；當(dāng)n=4k+3（k∈Z）時(shí)，sin（

n+1

2

π）=sin2π=0，由此可得
S₂₀₁₄=（1×sinπ）+（2×sin

3π

2

）+（3×sin2π）+…+（2014sin

2015π

2

）
=[2×（-1）+4×1+6×（-1）+8×1+…+2010×（-1）+2012×1+2014×（-1）]
=（-2+4-6+8-10+…+2008-2010+2012-2014）=-1008．
故答案為：-1008．

點(diǎn)評：本題求一個(gè)特殊數(shù)列的前2014項(xiàng)和，著重考查了正弦函數(shù)的周期、誘導(dǎo)公式和等差數(shù)列的通項(xiàng)與求和等知識，屬于中檔題．