a
=(sin
x
2
，
3
cos
x
2
)，
b
=(cos
x
2
，cos
x
2
)，設(shè)f(x)=
a
•
b
．
（Ⅰ）求函數(shù)f(x)=
a
•
b
．的周期及單調(diào)增區(qū)間．
（Ⅱ）設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知f(A)=
3
，b=2，sinA=2sinC，求邊c的值．
分析：（Ⅰ）根據(jù)題目給出的兩向量的坐標(biāo)，直接代入數(shù)量積公式求得函數(shù)f（x）的解析式，化簡后可求其周期，運用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解器增區(qū)間；
（Ⅱ）把f(A)=
3
代入（Ⅰ）中的函數(shù)解析式，求出A的大小，然后運用余弦定理求c的值．
解答：解：（Ⅰ）因為
a
=(sin
x
2
，
3
cos
x
2
)，
b
=(cos
x
2
，cos
x
2
)
所以f(x)=
a
•
b
=sin
x
2
cos
x
2
+
3
cos2
x
2

=
1
2
sinx+
3
2
cosx+
3
2

=sin(x+
π
3
)+
3
2
．
所以周期T=2π
由2kπ-
π
2
≤x+
π
3
≤2kπ+
π
2
，得2kπ-
5π
6
≤x≤2kπ+
π
6

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是{x|2kπ-
5π
6
≤x≤2kπ+
π
6
，k∈Z}．
（Ⅱ）由f(A)=sin(A+
π
3
)+
3
2
=
3
，
所以sin(A+
π
3
)=
3
2

因為A∈（0，π），所以A+
π
3
∈(
π
3
，
4π
3
)
得A+
π
3
=
2π
3
，所以 A=
π
3
．
由sinA=2sinC得 a=2c．又b=2，
由a2=b2+c2-2bccosA，得：4c2=22+c2-2•2ccos
π
3
，所以3c2+2c-4=0，
∵c＞0，
∴c=
13
-1
3
．
點評：本題考查了平面向量數(shù)量積的運算及解三角形問題，考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的求法，訓(xùn)練了利用余弦定理求解三角形，是高考常見題型．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
a+sinx
2+cosx
-bx（a、b∈R），
（Ⅰ）若f（x）在R上存在最大值與最小值，且其最大值與最小值的和為2680，試求a和b的值；
（Ⅱ）若f（x）為奇函數(shù)：
（1）是否存在實數(shù)b，使得f（x）在(0，
2π
3
)為增函數(shù)，(
2π
3
，π)為減函數(shù)，若存在，求出b的值，若不存在，請說明理由；
（2）如果當(dāng)x≥0時，都有f（x）≤0恒成立，試求b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(cos
3x
2
，sin
3x
2
)，
b
=(cos
x
2
，-sin
x
2
)，且x∈[
π
2
，π]
（1）若|
a
+
b
|＞
3
，求x的范圍；
（2）f(x)=
a
•
b
+|
a
+
b
|，若對任意x1，x2∈[
π
2
，π]，恒有|f（x1）-f（x2）|＜t，求t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sin
x
2
，cos
x
2
)，
b
=(cos
x
2
，
3
cos
x
2
)，函數(shù)f(x)=
a
•
b
．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）如果△ABC中，f（A）=
3
，且角A所對的邊a=2，求△ABC的周長l的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知A (-sin
x
2
，  sin
x
2
 )，B ( sin
x
2
，  -2 cos
x
2
 )，C ( cos
x
2
，  0 )三點．
（1）求向量
AC
和向量
BC
的坐標(biāo)；
（2）設(shè)f（x）=
AC
•
BC
，求f（x）的最小正周期；
（3）求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

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