正方體是常見并且重要的多面體,對它的研究將有助于我們對立體幾何一些概念的理解和掌握.如圖所示,在正方體AC1中,E、F、G、H分別是所在棱的中點(diǎn),請思考并回答下列問題:
(1)點(diǎn)E、F、G、H共面嗎?
(2)直線EF、GH、DG能交于一點(diǎn)嗎?
(3)若E、F、G、H四點(diǎn)共面,怎樣才能畫出過四點(diǎn)E、F、G、H的平面與正方體的截面?
(4)若正方形的棱長為a,那么(3)中的截面面積是多少?
解:(1)由平面的基本性質(zhì)可知,要判斷四點(diǎn)共面可以考慮由四點(diǎn)能構(gòu)成相交直線或平行直線. 本問題中,可考慮證明EG∥FH. (2)思路一:要證三線共點(diǎn),可先證兩線共點(diǎn),然后證明另一線也通過這一點(diǎn). 因?yàn)镋、F分別為棱AB、BC的中點(diǎn),易得E、F∈面ABCD且EF與CD相交,設(shè)交點(diǎn)為P. 由△EBF≌△PCF可得PC=BE=AB. 同理,GH與CD相交,設(shè)交點(diǎn)為P1,同樣可得P1C=C1G=C1D1=AB. 所以P1與P重合,因此(2)得證. 思路二:要證三線共點(diǎn),可先證某兩線相交(如圖中的EF、GH相交,設(shè)交點(diǎn)為P),然后證明P既在平面DCC1D1內(nèi)又在平面ABCD內(nèi),從而由公理3可得P一定在兩平面的交線CD上,于是可得三線共點(diǎn). (3)作截面的關(guān)鍵在于作出截面與各個側(cè)面的交線(或者是作出截面與正方體的各棱的交點(diǎn)),而要確定兩個平面的交線,要找到同時在兩個平面上的至少兩個點(diǎn).延長HG、DD1相交于點(diǎn)R,延長FE交DA延長線于Q,則點(diǎn)R、Q是截面與側(cè)面AD1的公共點(diǎn),連結(jié)RQ與A1D1、A1A分別交于點(diǎn)M、T,連結(jié)GM、TE,可得截面與正方體各面的交線分別為EF、FH、HG、GM、MT、TE.截面如圖陰影部分所示. (4)截面為正六邊形,其面積為. |
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