定義函數(shù)f(x)=
2cosx，(sinx＜cosx)
2sinx (sinx≥cosx)
，給出下列四個(gè)命題：①該函數(shù)的值域是[-2，2]；②該函數(shù)是以π為最小正周期的周期函數(shù)；③當(dāng)且僅當(dāng)x=2kπ-
π
2
(k∈Z)時(shí)該函數(shù)取得最大值2；④當(dāng)且僅當(dāng)2kπ-π＜x＜2kπ-
π
2
(k∈Z)時(shí)，f（x）＜0．上述命題中，錯(cuò)誤命題的個(gè)數(shù)是（　�。�
分析：根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，我們可以判斷出函數(shù)的f（x）的值域，進(jìn)而判斷①的真假；判斷出函數(shù)的f（x）的周期，進(jìn)而判斷②的真假；判斷出函數(shù)的f（x）的最大值及取最大值時(shí)自變量x的值，進(jìn)而判斷出③的真假；求出函數(shù)的f（x）的值小于0時(shí)，自變量x的取值范圍，進(jìn)而判斷出④的真假；最終得到答案．
解答：解：∵函數(shù)f(x)=
2cosx，(sinx＜cosx)
2sinx (sinx≥cosx)
，
由三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得：
函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇-
2
，2]，故①錯(cuò)誤；
函數(shù)f（x）是以2π為最小正周期的周期函數(shù)，故②錯(cuò)誤；
函數(shù)f（x）在x=2kπ或x=2kπ+
π
2
(k∈Z)時(shí)該函數(shù)取得最大值2，故③錯(cuò)誤；
函數(shù)f（x）在2kπ-π＜x＜2kπ-
π
2
(k∈Z)時(shí)，f（x）＜0，故④正確
故選C
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法，函數(shù)的值域，函數(shù)的周期性，函數(shù)的最值，其中熟練掌握三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答本題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知
OA
=(sin
x
3
，
3
cos
x
3
)，
OB
=(cos
x
3
，cos
x
3
)，其中x∈R，定義函數(shù)f(x)=
OA
•
OB

（1）求函數(shù)f（x）圖象的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)
（2）若x∈(0，
π
3
]，求函數(shù)f（x）的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f(x)=2
-x2+x+2
，對(duì)于給定的正數(shù)K，定義函數(shù)fK(x)=
f(x)，f(x)≤K
K，f(x)＞K
若對(duì)于函數(shù)f(x)=2
-x2+x+2
定義域內(nèi)的任意 x，恒有fK（x）=f（x），則（　�。�
A、K的最大值為2
2
B、K的最小值為2
2
C、K的最大值為1
D、K的最小值為1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(1，0)，
b
=(x，1)，當(dāng)x＞0時(shí)，定義函數(shù)f(x)=
a
•
b
|
a
|+|
b
|
．
（1）求函數(shù)y=f（x）的反函數(shù)y=f-1（x）；
（2）數(shù)列{an}滿足：a1=a＞0，an+1=f（an），n∈N*，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則：
①當(dāng)a=1時(shí)，證明：an＞
1
2n
；
②對(duì)任意θ∈[0，2π]，當(dāng)2asinθ-2a+Sn≠0時(shí)，
證明：
2asinθ+2a-Sn
2asinθ-2a+Sn
≥
4a-Sn
Sn
或
2asinθ+2a-Sn
2asinθ-2a+Sn
≤
Sn
4a-Sn
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)關(guān)于x的方程x2-mx-1=0 有兩個(gè)實(shí)根α、β，且α＜β．定義函數(shù)f(x)=
2x-m
x2+1
．
（1）求αf（α）+βf（β） 的值；
（2）判斷f（x） 在區(qū)間（α，β） 上的單調(diào)性，并加以證明；
（3）若λ，μ 為正實(shí)數(shù)，求證：|f(
λα+μβ
λ+μ
)-f(
μα+λβ
λ+μ
)|＜|f(α)-f(β)|．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2005•東城區(qū)一模）已知向量
a
=(2sinx，cosx)，
b
=(
3
cosx，2cosx)，定義函數(shù)f(x)=
a
•
b
-1．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（3）畫出函數(shù)g(x)=f(x)，x∈[-
7π
12
，
5π
12
]的圖象，由圖象研究并寫出g（x）的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心．

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同步練習(xí)冊(cè)答案