Question

【題目】已知函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，且在公共定義域{x|x∈R且x≠±1}上滿(mǎn)足f（x）+g（x）= ．
（1）求f（x）和g（x）的解析式；
（2）設(shè)h（x）=f（x）﹣g（x），求h（ ）；
（3）求值：h（2）+h（3）+h（4）+…+h（2016）+h（ ）+h（ ）+h（ ）+…+h（ ）．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意，f（x）+g（x）= ，①

f（﹣x）+g（﹣x）= ，即﹣f（x）+g（x）=﹣ ，②

由①②聯(lián)立解得f（x）= ，g（x）=

（2）解：h（x）=f（x）﹣g（x）═ = ，

∴h（ ）= =

（3）解：∵h(yuǎn)（x）+h（ ）= =1，

∴h（2）+h（3）+h（4）+…+h（2016）+h（ ）+h（ ）+h（ ）+…+h（ ）

=[h（2）+h（ ）]+[h（3）+h（ ）]+…+h（2016）+h（ ）]

=2015

【解析】（1）由f（x）+g（x）= ，得﹣f（x）+g（x）=﹣ ，聯(lián)立方程組能求出f（x），g（x）．（2）由h（x）=f（x）﹣g（x）═ = ，能求出h（ ）．（3）由h（x）+h（ ）= =1，能求出h（2）+h（3）+h（4）+…+h（2016）+h（ ）+h（ ）+h（ ）+…+h（ ）的值．
【考點(diǎn)精析】利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)和函數(shù)的值對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除認(rèn)為奇函數(shù)；偶數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性：一個(gè)為偶就為偶，兩個(gè)為奇才為奇；函數(shù)值的求法：①配方法(二次或四次)；②“判別式法”；③反函數(shù)法；④換元法；⑤不等式法；⑥函數(shù)的單調(diào)性法．