Question

8．已知點(diǎn)A（1，1），B（5，5），直線l₁：x=0和l₂：3x+2y-2=0，若點(diǎn)P₁、P₂分別是l₁、l₂上與A、B兩點(diǎn)距離的平方和最小的點(diǎn)，則|$\overrightarrow{{P}_{1}{P}_{2}}$|等于（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． $\sqrt{10}$
• D． $\frac{\sqrt{173}}{5}$

Answer 1

分析 設(shè)P₁（0，s），P₂$（t，\frac{2-3t}{2}）$，則$|A{P}_{1}{|}^{2}$+$|B{P}_{1}{|}^{2}$=2（s-3）²+33，當(dāng)s=3時取最小值，此時P₁（0，3）．$|A{P}_{2}{|}^{2}$+$|B{P}_{2}{|}^{2}$=$\frac{13}{2}{t}^{2}$+42≥42，當(dāng)t=0時取等號，此時P₂（0，1）．即可得出|$\overrightarrow{{P}_{1}{P}_{2}}$|．

解答 解：設(shè)P₁（0，s），P₂$（t，\frac{2-3t}{2}）$，
則$|A{P}_{1}{|}^{2}$+$|B{P}_{1}{|}^{2}$=1+（s-1）²+5²+（s-5）²=2（s-3）²+33≥33，當(dāng)s=3時取等號，此時P₁（0，3）．
$|A{P}_{2}{|}^{2}$+$|B{P}_{2}{|}^{2}$=（t-1）²+$（\frac{2-3t}{2}-1）^{2}$+（t-5）²+$（\frac{2-3t}{2}-5）^{2}$=$\frac{13}{2}{t}^{2}$+42≥42，當(dāng)t=0時取等號，此時P₂（0，1）．
∴|$\overrightarrow{{P}_{1}{P}_{2}}$|=$\sqrt{0+（3-1）^{2}}$=2．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查了兩點(diǎn)之間的距離公式、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．