如圖所示,點P在圓O:x2+y2=4上,PD⊥x軸,點M在射線DP上,且滿足
DM
DP
(λ≠0).
(Ⅰ)當點P在圓O上運動時,求點M的軌跡C的方程,并根據(jù)λ取值說明軌跡C的形狀.
(Ⅱ)設軌跡C與x軸正半軸交于點A,與y軸正半軸交于點B,直線2x-3y=0與軌跡C交于點E、F,點G在直線AB上,滿足
EG
=6
GF
,求實數(shù)λ的值.
分析:(Ⅰ)利用
DM
DP
和PD⊥x軸,確定M,P坐標之間的關系,代入圓方程得:
x2
4
+
y2
4λ2
=1
,對λ討論,即可得到結論;
(Ⅱ)由題設知A(2,0),B(0,2λ),E,F(xiàn)關于原點對稱,可設E,F(xiàn),G的坐標,利用
EG
=6
GF
,即可求得結論.
解答:解:(Ⅰ)設M(x,y)、P(x0,y0),由于
DM
DP
和PD⊥x軸,所以
x=x0
y=λy0
,∴
x0=x
y0=
y
λ

代入圓方程得:
x2
4
+
y2
4λ2
=1
--------------(2分)
當0<λ<1時,軌跡C表示焦點在x軸上的橢圓;
當λ=1時軌跡C就是圓O;
當λ>1時軌跡C表示焦點是y軸上的橢圓.
(Ⅱ)由題設知A(2,0),B(0,2λ),E,F(xiàn)關于原點對稱,所以設E(x1,
2
3
x1)
,F(-x1,-
2
3
x1)
,G(x0,y0),不妨設x1>0---------------(6分)
直線AB的方程為:
x
2
+
y
=1
,把點G坐標代入得y0=2λ-λx0
又點E在軌跡C上,則有
x
2
1
4
+
x
2
1
9λ2
=1
,∴x1=
9λ2+4

EG
=6
GF
,∴x0-x1=6(-x1-x0),∴x0=-
5
7
x1

∵y0-
2
3
x1=6(-
2
3
x1-y0),∴x1=
-42λ
10+15λ
,
x1=
-42λ
10+15λ
=
9λ2+4
,∴18λ2-25λ+8=0,∴λ=
1
2
或λ=
8
9
點評:本題考查軌跡方程,考查向量知識的運用,利用向量確定坐標之間的關系是關鍵.
練習冊系列答案
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DM
DN
(λ>0).
(1)求點M的軌跡方程,并求當λ為何值時M的軌跡表示焦點在x軸上的橢圓;
(2)當λ=
1
2
時,(1)所得曲線記為C,已知直線l:
x
2
+y=1
,P是l上的動點,射線OP(O為坐標原點)交曲線C于點R,又點Q在OP上且滿足|OQ|•|OP|=|OR|2,求點Q的軌跡方程.

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