5.已知函數(shù)f(x)=$\frac{x}{lnx}$,g(x)=ax+1.(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(Ⅰ)當(dāng)x∈(1,e2]時(shí),求函數(shù)f(x)圖象上點(diǎn)M處切線斜率的最大值;
(Ⅱ) 若h(x)=f(x)+g(x)在點(diǎn)(e,h(e))處的切線l與直線x-y-2=0垂直,求切線l方程.

分析 (Ⅰ)函數(shù)f(x)圖象上點(diǎn)M處切線斜率為${f^'}(x)=\frac{lnx-1}{{{{ln}^2}x}}=-\frac{1}{{{{ln}^2}x}}+\frac{1}{lnx}$,利用x∈(1,e2],即可求函數(shù)f(x)圖象上點(diǎn)M處切線斜率的最大值;
(Ⅱ) h(x)在點(diǎn)(e,h(e))處的切線l與直線x-y-2=0垂直,h′(e)=a=-1,h(e)=1,即可求切線l方程.

解答 解:(Ⅰ)設(shè)切點(diǎn)M(x,f(x)),則x∈(1,e2].
函數(shù)f(x)圖象上點(diǎn)M處切線斜率為${f^'}(x)=\frac{lnx-1}{{{{ln}^2}x}}=-\frac{1}{{{{ln}^2}x}}+\frac{1}{lnx}$…(2分)
∵$x∈({1,\left.{e^2}]}\right.,\frac{1}{lnx}∈[{\frac{1}{2}}\right.,\left.{+∞})$,…(4分)
∴${f^'}(x)=-{({\frac{1}{lnx}-\frac{1}{2}})^2}+\frac{1}{4}$,
∴$當(dāng)\frac{1}{lnx}=\frac{1}{2}時(shí),即x={e^2},{f^'}{(x)_{max}}=\frac{1}{4}$…(6分)
(Ⅱ)∵$h(x)=\frac{x}{lnx}+ax+1$,${h^,}(x)=\frac{lnx-1}{{{{ln}^2}x}}+a$,…(8分)
又h(x)在點(diǎn)(e,h(e))處的切線l與直線x-y-2=0垂直.
∴h′(e)=a=-1,h(e)=1,…(10分)
切線l的方程為x+y-1-e=0…(12分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用,考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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15.已知橢圓C1:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$,P(-2,1)是C1上一點(diǎn).
(1)求橢圓C1的方程;
(2)設(shè)A,B,Q是P分別關(guān)于兩坐標(biāo)軸及坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn),平行于AB的直線l交C1于異于P、Q的兩點(diǎn)C,D,點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為E.證明:直線PD、PE與y軸圍成的三角形是等腰三角形.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

16.已知橢圓E:$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1(a>b>0)的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$,以原點(diǎn)O為圓心,以橢圓E的半長軸長為半徑的圓與直線x-y+2$\sqrt{2}$=0相切.
(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)A,B,C在橢圓E上運(yùn)動(dòng),A與B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,且|AC|=|CB|,當(dāng)△ABC的面積最小時(shí),求直線AB的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

13.某同學(xué)在籃球場上進(jìn)行投籃訓(xùn)練,先投“2分的籃”2次,每次投中的概率為$\frac{4}{5}$,每投中一次得2分,不中得0分;再投“3分的籃”1次,每次投中的概率為$\frac{2}{3}$,投中得3分,不中得0分,該同學(xué)每次投籃的結(jié)果相互獨(dú)立,假設(shè)該同學(xué)要完成以上三次投籃.
(1)求該同學(xué)恰好有2次投中的概率;
(2)求該同學(xué)所得分X的分布列.

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20.已知f(α)=$\frac{{sin(π-α)cos(α-\frac{π}{2})cos(π+α)}}{{sin(\frac{π}{2}+α)cos(\frac{π}{2}+α)tan(3π+α)}}$
(1)化簡f(a).
(2)若α是第三象限角,且sin(π+α)=$\frac{1}{3}$,求f(α)的值.

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A.60°B.90°C.105°D.75°

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(1)求證:CD⊥平面AEF;
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