Question

已知實數(shù)x，y，z滿足xyz=32，x+y+z=4，則|x|+|y|+|z|的最小值為________．

Answer 1

12
分析：為了去掉絕對值，先討論三個實數(shù)的符號一定為一正二負，從而將|x|+|y|+|z|轉化為關于x的函數(shù)，再利用判別式法求x的范圍，即可得所求
解答：不妨設x≥y≥z由于xyz=32＞0所以x，y，z要么滿足全為正，要么一正二負
若是全為正數(shù)，由均值不等式得：4=x+y+z≥3，所以xyz≤＜32，矛盾．
所以必須一正二負．即x＞0＞y≥z
從而|x|+|y|+|z|=x-y-z=2x-（x+y+z）=2x-4，所以只要x最小
將z=4-x-y代入xyz=32得：xy²+（x²-4x）y-32=0
由△≥0，得：（x²-4x）²≥128x
即x（x-8）（x²+16）≥0因為x＞0，x²+16＞0，所以一定有x-8≥0，x≥8
所以|x|+|y|+|z|的最小值為2×8-4=12
故答案為12
點評：本題考查了推理論證能力，均值定理的運用，含絕對值函數(shù)問題的解決方法，判別式法求變量的取值范圍