Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+ax．
（I）若對(duì)一切x＞0，f（x）≤1恒成立，求a的取值范圍；
（II）在函數(shù)f（x）的圖象上取定兩點(diǎn)A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x）₂）（x₁＜x₂），記直線AB的斜率為k，證明：存在x₀∈（x₁，x₂），使f′（x₀）=k成立．

Answer 1

（I）解：對(duì)一切x＞0，f（x）≤1恒成立，即對(duì)一切x＞0，lnx+ax≤1恒成立，∴a≤
令g（x）=，則
令g′（x）＜0，可得0＜x＜e²；令g′（x）＞0，可得x＞e²，
∴x=e²時(shí)，g（x）取得最小值g（e²）=-
∴a≤-；
（II）證明：由題意，k==
要證明存在x₀∈（x₁，x₂），使f′（x₀）=k成立，只要證明f′（x）-k=0在（x₁，x₂）內(nèi)有解即可
令h（x）=f′（x）-k=-，只要證明h（x）在（x₁，x₂）內(nèi)存在零點(diǎn)即可
∵h(yuǎn)（x）在（x₁，x₂）內(nèi)是減函數(shù)，只要證明h（x₁）＞0，h（x₂）＜0
即證＞0，＞0
令F（t）=t-1-lnt（t＞0），∵F′（t）=1-，∴函數(shù)在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增
∴函數(shù)在t=1時(shí)，取得最小值0，∴F（t）≥0
∵＞0且；＞0且≠1
∴＞0，＞0
∴結(jié)論成立．
分析：（I）對(duì)一切x＞0，f（x）≤1恒成立，即對(duì)一切x＞0，lnx+ax≤1恒成立，分離參數(shù)，求出函數(shù)的最值，即可求得結(jié)論；
（II）要證明存在x₀∈（x₁，x₂），使f′（x₀）=k成立，只要證明f′（x）-k=0在（x₁，x₂）內(nèi)有解即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查恒成立問(wèn)題，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．