Question

已知函數f（x）=（ax²+x）e^x，其中e是自然數的底數，a∈R．
（1）當a＜0時，解不等式f（x）＞0；
（2）當a=0時，求正整數k的值，使方程f（x）=x+2在[k，k+1]上有解；
（3）若f（x）在[-1，1]上是單調增函數，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據指數函數值大于0恒成立，將不等式f（x）＞0化為ax²+x＞0，結合a＜0，可得不等式f（x）＞0的解集；
（2）當a=0時，方程即為xe^x=x+2，即ex-

2

x

-1=0，令h（x）=ex-

2

x

-1，利用導數法可判斷出h（x）的單調性，結合零點判定定理，可得正整數k的值
（3）求出函數f（x）的導函數的解析式，進而由f（x）在[-1，1]上是單調增函數，f′（x）≥0恒成立，對a進行分類討論后，可得a的取值范圍．

解答：解：（1）因為e^x＞0，所以不等式f（x）＞0即為ax²+x＞0，
又因為a＜0，所以不等式可化為x（x+

1

a

）＜0，
所以不等式f（x）＞0的解集為（0，-

1

a

）．
（2）當a=0時，方程即為xe^x=x+2，由于e^x＞0，所以x=0不是方程的解
所以原方程等價于ex-

2

x

-1=0，令h（x）=ex-

2

x

-1，
因為h′（x）=ex+

2

x2

＞0對于x∈（0，+∞）恒成立，
所以h（x）在（0，+∞）內是單調增函數，
又h（1）=e-3，h（2）=e²-2＞0，
所以方程f（x）=x+2有且只有1個實數根，在區(qū)間[1，2]，
所以正整數k的值為 1．
（3）f′（x）=（2ax+1）e^x+（ax²+x）e^x=[ax²+（2a+1）x+1]e^x，
①當a=0時，f′（x）=（x+1）e^x，f′（x）≥0在[-1，1]上恒成立，當且僅當x=-1時取等號，故a=0符合要求；
②當a≠0時，令g（x）=ax²+（2a+1）x+1，因為△=（2a+1）²-4a=4a²+1＞0，
所以g（x）=0有兩個不相等的實數根x₁，x₂，不妨設x₁＞x₂，
因此f（x）有極大值又有極小值．
若a＞0，因為g（-1）•g（0）=-a＜0，所以f（x）在（-1，1）內有極值點，
故f（x）在[-1，1]上不單調．
若a＜0，可知x₁＞0＞x₂，
因為g（x）的圖象開口向下，要使f（x）在[-1，1]上單調，因為g（0）=1＞0，
必須滿足

g(1)≥0 g(-1)≥0

即

3a+2≥0 -a≥0

，所以-

2

3

≤a＜0．
綜上可知，a的取值范圍是[-

2

3

，0]．

點評：本題考查的知識是利用導數求閉區(qū)間上函數的最值，函數的單調性與導數的關系，熟練掌握導數法在求函數單調性，最值，極值的方法是解答的關鍵．