Question

16．已知雙曲線${x^2}-\frac{y^2}{24}=1$的左右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，點P為雙曲線左支上一點，且$|P{F_1}|=\frac{3}{5}|{F_1}{F_2}|$，則△PF₁F₂的面積是24．

Answer 1

分析 求出雙曲線的a，b，c，由條件可得|PF₁|，運用雙曲線的定義，求得|PF₂|，由勾股定理的逆定理可得△PF₁F₂為斜邊為F₁F₂的直角三角形，由三角形的面積公式計算即可得到所求值．

解答 解：雙曲線${x^2}-\frac{y^2}{24}=1$的a=1，b=2$\sqrt{6}$，
可得c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=5，
由$|P{F_1}|=\frac{3}{5}|{F_1}{F_2}|$，可得：
|PF₁|=$\frac{3}{5}$×10=6，
由雙曲線的定義可得|PF₂|-|PF₁|=2a=2，
可得|PF₂|=6+2=8，
由|PF₂|²+|PF₁|²=|F₁F₂|²，
可得△PF₁F₂為斜邊為F₁F₂的直角三角形，
可得△PF₁F₂的面積是$\frac{1}{2}$|PF₁|•|PF₂|=$\frac{1}{2}$×6×8=24．
故答案為：24．

點評 本題考查三角形的面積的求法，注意運用雙曲線的定義，判斷三角形為直角三角形是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．