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13.已知點(diǎn)F為拋物線C:x2=4y的焦點(diǎn),A,B,D為拋物線C上三點(diǎn),且點(diǎn)A在第一象限,直線AB經(jīng)過點(diǎn)F,BD與拋物線C在點(diǎn)A處的切線平行,點(diǎn)M為BD的中點(diǎn).
(1)證明:AM與y軸平行;
(2)求△ABD面積S的最小值.

分析 (1)設(shè)出A,B,D三點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)kBD=y′|x=x0列方程.根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出M的橫坐標(biāo)即可;
(2)求出直線BD的方程,求出AM和B到直線AM的距離,則S△ABD=2S△ABM,求出S關(guān)于xA的函數(shù),利用基本不等式求出函數(shù)的最小值.

解答 證明:(1)設(shè)A(x0,14x02),B(x1,14x12),D(x214x22).(x0>0)
由x2=4y得y=14x2,
∴y′=x2,
∴kBD=x02
又kBD=x224x124x2x1=x1+x24,
x02=x1+x24,
∴xM=x0
∴AM與y軸平行.
解:(2)F(0,1),
∴kAF=x04-1x0,kBF=x14-1x1
∵A,B,F(xiàn)三點(diǎn)共線,
∴kAF=kBF,
x04-1x0=x14-1x1,整理得(x0x1+4)(x0-x1)=0,
∵x0-x1≠0,
∴x0x1=-4,即x1=-4x0
直線BD的方程為y=x02(x-x1)+14x12
∴yM=x02(x0-x1)+14x12=x022+14x12+2=x022+4x02+2.
由(1)得S△ABD=2S△ABM=|x022+4x02+2-14x02|×|x1-x0|
=|14x02+4x02+2|×|x0+4x0|=14(x0+4x03≥16,
當(dāng)且僅當(dāng)x0=4x0即x0=2時等號成立,
∴S的最小值為16.

點(diǎn)評 本題考查了拋物線的性質(zhì),直線與拋物線的位置關(guān)系,考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用,屬于中檔題.

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