Question

已知a∈R，給出下面兩個(gè)命題：命題p：“在x∈[1，2]內(nèi)，不等式x²+2ax-2＞0恒成立”；命題q：“關(guān)于x的不等式（a²-1）x²+（a-1）x-2＞0的解集為空集”；當(dāng)p、q中有且僅有一個(gè)為真命題時(shí)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：兩個(gè)命題中有且只有一個(gè)是真命題，則需要對(duì)p、q的誰真誰假分情況討論．對(duì)于命題p可以利用分參思想轉(zhuǎn)化為恒成立問題．對(duì)于命題q：不等式的解集為空集，a應(yīng)滿足a=1或，即可求出命題q，然后根據(jù)當(dāng)p、q中有且僅有一個(gè)為真命題時(shí)，分情況討論，即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．．
解答：解：∵x∈[1，2]時(shí)，不等式x²+2ax-2＞0恒成立
∴2a，
在x∈[1，2]上恒成立，
令g（x）=，
則g（x）在[1，2]上是減函數(shù)，g（x）_max=g（1）=1，
∴2a＞1．∴若命題p真，則a＞，
當(dāng)命題q真時(shí)，a應(yīng)滿足a=1或，解得，
∴當(dāng)p、q中有且僅有一個(gè)為真命題時(shí)，即或，
∴．
點(diǎn)評(píng)：此題是個(gè)中檔題．本題考查二次不等式恒成立求參數(shù)范圍、二次不等式的解法、分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，同時(shí)考查學(xué)生對(duì)題意的理解與轉(zhuǎn)化和計(jì)算能力．