Question

如圖，設E：+=1（a＞b＞0）的焦點為F₁與F₂，且P∈E，∠F₁PF₂=2θ．
求證：△PF₁F₂的面積S=b²tanθ．

Answer 1

【答案】分析：設|PF₁|=r₁，|PF₂|=r₂，根據(jù)三角形面積公式可表示出△PF₁F₂的面積，由余弦定理可求得r₁r₂的表達式，進而求得S與b和tanθ的關系式，原式得證．
解答：證明：設|PF₁|=r₁，|PF₂|=r₂，
則S=r₁r₂sin2θ，又|F₁F₂|=2c，
由余弦定理有
（2c）²=r₁²+r₂²-2r₁r₂cos2θ=（r₁+r₂）²-2r₁r₂-2r₁r₂cos2θ=（2a）²-2r₁r₂（1+cos2θ），
于是2r₁r₂（1+cos2θ）=4a²-4c²=4b²．
所以r₁r₂=．
這樣即有S=•sin2θ=b²=b²tanθ．
點評：本題主要考查了橢圓的應用．有些圓錐曲線問題用定義去解決比較方便．如本題，設|PF₁|=r₁，|PF₂|=r₂，則S=r₁r₂sin2θ．若能消去r₁r₂，問題即獲解決．