Question

【題目】在如圖所示的幾何體中，四邊形為平行四邊形， 　平面，且是的中點(diǎn).

（1）求證： 平面；

（2）求二面角的余弦值的大小.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）

【解析】試題分析：（1）取AD的中點(diǎn)N，連接MN、NF．由三角形中位線定理，結(jié)合已知條件，證出四邊形MNFE為平行四邊形，從而得到EM∥FN，結(jié)合線面平行的判定定理，證出EM∥平面ADF；（2）求出平面ADF、平面BDF的一個(gè)法向量，利用向量的夾角公式，可求二面角的大小.

解析：

（1）解法一：取的中點(diǎn)，連接.

在中， 是的中點(diǎn)， 是的中點(diǎn)，

所以，又因?yàn)?/span>，

所以且.

所以四邊形為平行四邊形，所以，

又因?yàn)?/span>平面平面，故平面.

解法二：因?yàn)?/span>平面，

故以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

由已知可得，

設(shè)平面的一個(gè)法向量是.

由得

令，則.

又因?yàn)?/span>，所以，又平面，

故平面.

（2）由（1）可知平面的一個(gè)法向量是.

易得平面的一個(gè)法向量是

所以，又二面角為銳角，

故二面角的余弦值大小為.