Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=a|log2x|+1（a≠0），定義函數(shù)F（x）= ，給出下列命題：
①F（x）=|f（x）|；
②函數(shù)F（x）是偶函數(shù)；
③當a＜0時，若0＜m＜n＜1，則有F（m）﹣F（n）＜0成立；
④當a＞0時，函數(shù)y=F（x）﹣2有4個零點．
其中正確命題的個數(shù)為（ ）
A.0
B.1
C.2
D.3

Answer 1

【答案】D
【解析】解：（1）∵函數(shù)f（x）=a|log2x|+1（a≠0），定義函數(shù)F（x）= ，
∴|f（x）|=|a|log2x|+1|，∴F（x）≠|f（x）|；
①不對
2）∵F（﹣x）= =F（x）
∴函數(shù)F（x）是偶函數(shù)；
故②正確
3）∵當a＜0時，若0＜m＜n＜1，
∴|log2m|＞|log2n|
∴a|log2m|+1＞a|log2n|+1，
即F（m）＜F（n）成立；
故F（m）﹣F（n）＜0成立；
所以③正確
4）

∵f（x）=a|log2x|+1（a≠0），定義函數(shù)F（x）= ，
∴x＞0時，（0，1）單調遞減，（1，+∞）單調遞增
∴x＞0時，F(xiàn)（x）的最小值為F（1）=1，
故x＞0時，F(xiàn)（x）與y=﹣2有2個交點，
∵函數(shù)F（x）是偶函數(shù)
∴x＜0時，F(xiàn)（x）與y=﹣2有2個交點
故當a＞0時，函數(shù)y=F（x）﹣2有4個零點．
所以④正確，
【考點精析】利用函數(shù)的偶函數(shù)和函數(shù)奇偶性的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般地，對于函數(shù)f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函數(shù)；在公共定義域內，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個奇函數(shù)的乘除認為奇函數(shù)；偶數(shù)個奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復合函數(shù)的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇．